Dimension von Untervektorräumen U,W (Beispiel)

Question

Aufgabe:

Über die Untervektorräume U, W ⊆ R¹⁰ ist nur bekannt, dass dim(U) = 7 und dim(W) = 4 ist.
a) Welche Werte für dim(U + W) sind möglich?
b) Geben Sie für jeden möglichen Wert von dim(U + W) ein Beispiel an, das diesen Wert realisiert.                                            c) Kann die Summe direkt sein?

Problem/Ansatz:

So, ich bin mir bei der Teilaufgabe b) nicht sicher! Bei a) habe ich die möglichen Werte dim(U+W)∈{7,8,9,10} (ich hoffe das ist richtig). Kann ich nun als Beispiel einfach einen Vektor aus Rⁿ n∈{7,8,9,10} angeben oder ist hier etwas anderes gefordert.

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo

 ein Vektor tut es sicher nicht, du brauchst eine Basis von U und eine von V  bzw. entsprechend viele Lin. unabhängige Vektoren darin. du kannst ja für U 7 der Standardbasisvektoren nehmen und V entsprechend anpassen für die 4 Fälle,

Gruß lul

Comments

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Also für U die Basis aus e₁,...,e₇ wählen, das ist klar. Aber wie wähle ich die vier Vektoren für die Basis von W, so dass die Dimension des Schnitts von U und W = 1,2,3,4 ist. Da fallen mir gerade irgendwie keine Beispiele ein.

Oder kann ich bei zB.

dim(U∩W)=4, Basis von W=(e₁,...,e₄),

dim(U∩W)=3, Basis von W=(e₁,e₂,e₃,(1,1,1,1,1,1,1)), ...

schreiben?

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Hallo

 wie kommst du plötzlich auf den Schnitt statt der Summe?  wenn du die Basis des Schnitts willst ist dim = 4 richtig, dim=3 nicht 6 mal die 1 sondern 10 mal besser W={e1,e2,e3, e8}

lul

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Naja kann sein, dass ich jetzt einen Denkfehler habe, aber da die Summe nicht direkt ist, ist dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W) also gegeben sind ja, mit dim(U)=7 und dim(W)=4. Also muss man die Basen doch so wählen, dass der Schnitt der Basen gleich 1,2,3,4 ist.

Oder etwa nicht?

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Hallo

 ja, kannst du so machen, daran hatte ich nicht gedacht.

Gruß lul

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OK, aber nochmal VIELEN Dank für deine Hilfe!