Interpolation, GEV, Gleichungssysteme

Question

Aufgabe:

Bringen Sie die Gleichungssysteme mithilfe des GEV nachvollziehbar in Zeilenstufenform und ermitteln Sie dann die Lösung.

Problem/Ansatz:

Ich bin gerade beim Rückwärtseinsetzen, komme aber nicht weiter bzw. bin mir auch bei meiner bisherigen „Lösung“ unsicher.

Hier meine Gleichungssysteme:

\( \begin{aligned} 2 x+3 y-z-4 u &=5 \\ x+y+z+2 u &=2 \\-3 x+y-2 z &=5 \\-2 x-2 y+4 u &=-4 \end{aligned} \)

Hier meine Ausgangsmatrix:

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a & b & c & d &  \\ \hline 2 & 3 & -1 & -4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ \hline -3 & 1 & -2 & 0 & 5 \\ \hline -2 & -2 & 4 & 0 & -4 \\ \hline\end{array} \)

Und mein weiterer Vorgang:

Ich habe einen Zeilentausch gemacht, sodass es dbca ist, statt abcd

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline-4 & {3} & {-1} & {2} & {5} \\ \hline 2 & {1} & {1} & {1} & {2} \\ \hline 0 & {1} & {-2} & {-3} & {5} \\ \hline 0 & {-2} & {4} & {-2} & {-4} \\ \hline\end{array} \)

Ich hoffe ihr könnt es „verstehen“:

\( \begin{array}{r|rrrr}{-4} & {3} & {-1} & {2} & {5} \\ {4} & {2} & {2} & {2} & {4} \\ {0} & {5} & {1} & {4} & {9}\end{array} \)

\( \left(\begin{array}{cccc|c}{-4} & {3} & {-1} & {2} & {5} \\ {0} & {5} & {1} & {4} & {9} \\ {0} & {1} & {-2} & {-3} & {5} \\ {0} & {-2} & {4} & {-2} & {-4}\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{cccc|c}{-4} & {3} & {-1} & {2} & {5} \\ {0} & {5} & {1} & {4} & {9} \\ {0} & {0} & {-11} & {-19} & {16} \\ {0} & {0} & {22} & {-2} & {-2}\end{array}\right) \)

Ich rechne || * 2 gerechnet, ||| * 5 und |V auch * 5

\( \left(\begin{array}{cccc|c}{-4} & {3} & {-1} & {2} & {5} \\ {0} & {5} & {1} & {4} & {9} \\ {0} & {0} & {11} & {-19} & {16} \\ {0} & {0} & {0} & {-40} & {130}\end{array}\right) \)

Jetzt rechne ich ||| * 2 (30 statt 130)

\( -40 a=30 \quad: 40 \)
\( \begin{aligned} a &=\frac{30}{-40} \\ a &=-0,75 \end{aligned} \)

So nun komme ich nicht weiter (beim Rückwärtseinsetzen) bzw. weiß nicht, ob ich bereits oben Fehler gemacht habe, da mir die Lösung für a „komisch“ erscheint?!

Comments

Es kann unmöglich sein, dass beides richtig ist. Wenn die Gleichung -2x-2y+4u=-4 stimmt, dann lautet die letzte Zeile deiner Ausgangsmatrix | -2 | -2 |  0 |  4 | -4 | aber nicht | -2 | -2 |  4 |   0 | -4 |.

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Richtig, ich sehe es auch. Habe die Gleichungen nicht genau untereinander geschrieben und dadurch Fehler gemacht...

Answer 1

Nun also,

Ich hätte einen Zeilentausch 1,2 vorgenommen um einfachere Zahlen zu generieren. Wenn ich die Matrix des LGS auf obere Dreiecksform bringe erhalte ich

Zeilenadditionen von rechts nach links: (z,s,a): Zeile z + a Zeile s
{ (4, 3, -2 /13), (4, 2, 2), (3, 2, 11), (4, 1, 1), (3, 1, 3 /2), (2, 1, -1/2)}

\(\small A4 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}2&3&-1&-4&5\\0&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&4&-\frac{1}{2}\\0&0&13&38&7\\0&0&0&\frac{28}{13}&-\frac{14}{13}\\\end{array}\right)\)

Dann Dividiere durch die Diagonalelemente um 1en in der Diagonalen zu haben

\(\small A5 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&-2&\frac{5}{2}\\0&1&-3&-8&1\\0&0&1&\frac{38}{13}&\frac{7}{13}\\0&0&0&1&-\frac{1}{2}\\\end{array}\right)\)

Rücksubstitution: {(1, 2, -3/2), (1, 3, 1/2), (2, 3, 3), (1, 4, 2), (2, 4, 8), (3, 4, -38/13}

\(\small A_n:=\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&-2\\0&1&0&0&3\\0&0&1&0&2\\0&0&0&1&-\frac{1}{2}\\\end{array}\right)\)

BTW: Was soll das mit der  Interpolation?