Differentialgleichung y'(x) = y(x) + x

Question

Aufgabe:

Lösen folgender Diff.gleichung:

y'(x) = y(x) + x

Problem/Ansatz:

Ich habs versucht mit Trennung der Variablen, geht aber nicht.

dy/dx = y(x) + x,    kurz y(x) = y

dy * 1/(y+x) = 1dx  (jetzt integieren)

ln(y+x) + C = x + C

y+x = e^(x+C)  -->  y+x = C*e^x

y= C*e^x - x

Was mache ich falsch? 

liegt es an der Integration von 1/(y+x) ? Darf man es nicht zu ln(y+x) umwandeln, da man die innere Ableitung nicht kennt?

Das richtige Resultat ist aber folgendermassen:

y=C*e^x - x - 1

Wie kommt man auf das -1 ?

Answer 1

Die Lösung der Differenzialgleichung setzt sich aus einer Lösung für den homogenen Teil und dem inhomogenen Teil zusammen. Die Lösung \(y=C \cdot e^x\) für den homogenen Teil $$y'-y= 0$$ist Dir bekannt, bzw. kannst Du leicht mit 'Trennung der Variablen' erhalten. Für den inhomogenen Teil$$y'-y=x$$ wählt man ein \(y=u(x)\) in der allgemeinen Form der rechten Seite - also hier eine lineare Funktion \(y(x) = mx + b\) und setzt es in die DGL ein$$\begin{aligned}m - (mx + b) &= x \\ (-m-1) x + (-b+m) &= 0\end{aligned}$$Das passt nur genau dann für alle \(x\), wenn \(-m-1=0\) und \(-b+m=0\) ist. Daraus folgt $$m=-1, \quad b=-1$$Die Gesamtlösung ist dann die Summe aus beiden$$y = C \cdot e^x - x - 1 $$

Comments

Danke für die Hilfe, ich verstehe den Ansatz. Muss aber selbst noch ein bisschen studieren, wieso man hier einfach so die lineare Gleichung einsetzen kann.

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Muss aber selbst noch ein bisschen studieren, wieso man hier einfach so die lineare Gleichung einsetzen kann.

Das geht nicht immer so einfach, aber es ist immer einen Versuch wert, da man so ohne den Aufwand ein 'häßliches' Integral lösen zu müssen, zu einem Ergebnis kommt. Es funktioniert wohl immer, wenn die rechte Seite ein Polynom ist.

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Hallo,

ich habe noch eine kurze Frage dazu. Handelt es sich um eine eindeutige Lösung? Ich habe versucht den S.v. Picard Lindelöf anzuwenden, indem ich y''=1 gebildet habe? Ist y" dann automatisch meine Lipschitzkonstante? Denn falls ja, wäre diese ja nicht <1 und damit läge ja keine Kontraktion vor.

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Handelt es sich um eine eindeutige Lösung?

meines Wissens ja! Aber ich kann das nicht begründen. Stelle bitte diese Frage unter die Antwort von Grosserloewe. Er kennt sich dahin gehend besser aus als ich ;-)

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Alles klar, trotzdem vielen Dank für deine Antwort:)

Answer 2

diese DGL kannst Du nicht via Trennung der Variablen lösen, aber mit Variation der Konstanten.

y'(x) = y(x) + x | -y

y'(x) - y(x) =x

y'(x) -y=0 homogene DGL , Lösung durch Trennung der Variablen

dy/dx= y

dy/y=dx

ln|y| =x +C

y_h=C₁ e^(x)

setze C₁=C(x)

------>

y_p=C(x) e^(x)

yp'= C'(x) *e^x +C(x) *e^x

setze yp und yp' in die DGL ein:

------->

y'=y+x

C'(x) *e^x +C(x) *e^x = C(x) e^(x) +x | -C(x) e^(x)

C'(x) *e^x  =x

C'(x) =x e^(-x) 

C(x)= -e^(-x) (x+1) (Lösung durch part. Integration)

------>

yp=C(x) e^(x)

yp=  (-e^(-x) (x+1) *(e^(x))

yp= -x-1

y=yh+yp

y= C₁ e^(x) -x-1

Comments

Danke für die Hilfe, habe es so verstanden. Wollte eigentlich dir "Beste Antwort" geben :s

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und warum tutst es nicht?--...

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Man kanns irgendwie nicht mehr wechseln :x War zu voreilig mit dem klicken, sorry.

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Hallo,

ich habe noch eine kurze Frage dazu. Handelt es sich um eine eindeutige Lösung? Ich habe versucht den S.v. Picard Lindelöf anzuwenden, indem ich y''=1 gebildet habe? Ist y" dann automatisch meine Lipschitzkonstante? Denn falls ja, wäre diese ja nicht <1 und damit läge ja keine Kontraktion vor.

Answer 3

Was mache ich falsch?

Du musst die DGL erstmal sortieren:

y'(x)-y(x) = x

Die dazugehörige homogene Gleichung lautet

y'(x)-y(x)=0

Diese kannst du mit Variation der Konstanten lösen.

Die inhomogene Lösung kannst du über einen Ansatz bekommen oder Variation der Konstanten.