Vektoren, Erzeugendensystem, Lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Vektoren des R⁴: y₁ = e₁, y₂ = e₁ + e₂, y₃ = e₁ + e₂ + e₃, y₄ =e₁ + e₂ + e₃ + e₄,

 x₁ = 2e₁ + e₂ + e₃, x₂ = −e₂ − e₃.
(a) Die Familie (y₁, y₂, y₃, y₄) ist ein Erzeugendensystem des R⁴.
(b) Ergänzen Sie die linear unabhängige Familie (x₁, x₂) durch Vektoren der Familie (y₁, y₂, y₃, y₄)
zu einer Basis des R⁴.
(c) Wenden Sie den Steinitzschen Austauschsatz auf die Basis der Einheitsvektoren (e₁, e₂, e₃, e₄)
des R⁴ und die Familie (x₁, x₂) an.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ist das ein Erzeugendensystem?

Stichworte: erzeugendensystem,vektorraum,lineare-algebra

ich soll beweisen, dass die Familie $$R^4:y_{1}=e_{1},  y_{2}=e_{1}+e_{2},   y_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3},   y_{4}=e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}$$ ein Erzeugendensystem des R^4 ist.

Aber mein Problem ist, dass ich gar nicht herausbekomme, dass die Familie überhaupt ein Vektorraum ist, weshalb ich nicht weiß, wie ich das überhaupt beweisen soll.

Habt ihr vielleicht eine Idee, oder bekommt ihr vielleicht auch raus, dass das gar kein Erzeugendensystem raus kommt.....

Bin über jede Antwort dankbar:)
LG

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Vom Duplikat:

Titel: Ist das ein Erzeugendensystem im R^4?

Stichworte: erzeugendensystem,vektorraum,lineare-algebra

Hi,

ich soll beweisen, dass die Familie $$R^4:y_{1}=e_{1},  y_{2}=e_{1}+e_{2},   y_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3},   y_{4}=e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}$$ ein Erzeugendensystem des R^4 ist.

Aber mein Problem ist, dass ich gar nicht herausbekomme, dass die Familie überhaupt ein Vektorraum ist, weshalb ich nicht weiß, wie ich das überhaupt beweisen soll.

Habt ihr vielleicht eine Idee, oder bekommt ihr vielleicht auch raus, dass das gar kein Erzeugendensystem raus kommt.....

Bin über jede Antwort dankbar:)
LG

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Warum hast du das zwei mal abgeschickt?

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Wo bleibt deine Reaktion auf die Rückfragen zu deinen vorgestrigen Fragen? Sind die schon nicht mehr interessant? Bsp. https://www.mathelounge.de/671863/wie-kann-ich-die-gultigkeit-dieser-ungleichung-zeigen

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a) Wurde gestern schon beantwortet.

Kommst du nun selbst mit den weiteren Teilaufgaben klar?

Wenn nein: Wo stehst du an?

Answer 1

Aloha :)

Du musst zeigen, dass du jeden Vektor \(\vec x\in\mathbb{R}^4\) als Linearkombination der genannten \(\vec y_i\) darstellen kannst:

$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=(x_1-x_2)\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)+(x_2-x_3)\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\0\end{array}\right)+(x_3-x_4)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)$$$$\vec x=(x_1-x_2)\cdot\vec y_1+(x_2-x_3)\cdot\vec y_2+(x_3-x_4)\cdot\vec y_3+x_4\cdot\vec y_4$$Damit haben wir für jeden Vektor \(\vec x\) eine mögliche Linearkombination angegeben. \(\checkmark\)

Answer 2

Hallo

e1=(1,0,0,0)  e1+e2=(1,1,0,0) usw  natürlich sind das Vektoren mit e1 usw bezeichnet man die Standardbasisvektoren. mit e1 bis e4 wird also R^4 dargestellt. jetzt ist die Frage ob diese Kombinationen auch 4 Lin unabhängige Vektoren sind,

(die Antwort ist ja, aber das sollst du zeigen) du musst dazu nur benutzen dass e1 bis e4 den R^4 aufspannen und nicht ihre Darstellung als Zahlentupel)

lul

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Vielen Dank für die Antwort:) Diese Darstellung hilft weiter