Question

Sei V ein K-Vektorraum, w₁, . . . ,w_r ∈ V linear unabhängige Vektoren und w_r+1 ∈ Vein Vektor, so dass w₁, . . . w_r, w_r+1 linear abhängig sind.

Zeigen Sie, dass wr+1 eine Linearkombination von w₁, . . . , w_r ist.

Answer 1

Hallo

 du musst nur die Def, von Lin abhängig = nicht Lin unabhängig verwenden und schon steht es  fast da.

Gruß lul

Answer 2

Ich werde dir ohne Eigenleistung nicht alles vorkauen, aber hier ist die generelle Idee.

Wenn \(w_1,\ldots,w_{r+1}\) linear abhängig sind, dann existieren \(\lambda_1,\ldots,\lambda_{r+1}\in K\) sodass \(\sum\limits_{i=1}^{r+1} \lambda_i\cdot w_i = 0\) und nicht alle \(\lambda_i = 0\).

Was du jetzt gerne machen würdest ist alles außer \(w_{r+1}\) auf eine Seite bringen und du kämst auf: \(w_{r+1} = \sum\limits_{i=1}^{r}\frac{-\lambda_i}{\lambda_{r+1}}w_i\), dann wärst du fertig. Achte auf den Konjunktiv!

Du hast die Gleichung durch \(\lambda_{r+1}\) geteilt, das darfst du nur, wenn \(\lambda_{r+1}\neq 0\), d.h. wenn \(w_{r+1}\) überhaupt in der diskutierten Linearkombination auftaucht! Wieso muss das der Fall sein, also wieso geht es nicht ohne \(w_{r+1}\)?

Also: Die grobe Rechnung steht schon da, die Details musst du aber selbstständig ausfüllen können.