Basis von Vektorraum und Linearkombinationen

Question

Aufgabe:

Sei

\( A:=\left\{\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \)

und \( U:=\langle A\rangle_{\mathrm{R}} \) der von \( A \) erzeugte Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{3} \).

(a) Wie viele Vektoren aus \( A \) kann eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) höchstens enthalten?

(b) Geben Sie eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) an, die möglichst viele Vektoren aus \( A \) enthält.

(c) Gibt es eine Basis von \( U \), die keine Vektoren aus \( A \) enthält? Gibt es eine Basis von \( U \), die nur Vektoren aus \( A \) enthält? Wenn ja, geben Sie jeweils eine an.

(d) Auf wie viele Arten lässt sich der Vektor \( \left(\begin{array}{l}5 \\ 3 \\ 3\end{array}\right) \) als Linearkombination von Vektoren aus \( A \) schreiben?

Answer 1

(a) Prüfe ob A linear abhängig ist. Falls ja, dann 3. Falls nein, dann prüfe ob es in A zwei linear unabhängige Vektoren gibt. Falls ja dann 2. Falls nein, dann 1 (weil A ≠ {0}).

(b) Falls (a) = 3 ist, dann ist A eine Basis. Falls (a) = 2 ist, dann füge das Kreuzprodukt der linear unabhängigen Vektoren zu der Menge der linear unabhängigen Vektoren hinzu. Falls (a) = 1 ist, dann bestimme die Parameterdarstellung einer Ebene durch den Ursprung, die einen Vektor aus A als Normalenvektor hat. Dieser Normalenvektor bildet zusammen mit den zwei Richtungsvektoren der Ebene eine Basis.

(c) Die linear unabhängige Menge von Vektoren aus (a) ist eine Basis von U. Multipliziere diese Vektoren mit e^{-1/42 π2} um einen Basis von U zu bekommen, die keine Vektoren aus A enthält.

(d) Wenn (5 3 3)^T ∉ U ist, dann auf 0 Arten. Wenn (5 3 3)^T ∈ U ist und A linear unabhängig ist, dann auf eine Art. Ansonsten auf unendlich viele Arten.