Extremstelle einer e-Funktion berechnen und den Wendepunkt ermitteln: f(x)=4+5e^{-2x} - 4e^{-0,5x}

Question

Aufgabe:

Extremstelle einer e-Funktion berechnen und den Wendepunkt ermitteln:

f(x)=4+5e^{-2x} - 4e^{-0,5x}

Problem/Ansatz:

ich muss eine PL in Mathe halten und habe den Graphen zu dieser e-Funktion schon gebildet.

Der Graph zeigt, dass die Extremstelle ungefähr auf der x-achse bei 1 liegen muss, allerdings verstehe ich nicht, wie ich das mathematisch darstellen kann.

Comments

Funktionsschar einer e-Funktion

Das ist eine einzelne Funktion und keine Schar.

Answer 1

f(x) = - 4·e^{- 0.5·x} + 5·e^{- 2·x} + 4

f'(x) = 2·e^{- 0.5·x} - 10·e^{- 2·x}

f''(x) = 20·e^{- 2·x} - e^{- 0.5·x}

Extremstellen f'(x) = 0

2·e^{- 0.5·x} - 10·e^{- 2·x} = 0 → x = 2/3·LN(5) = 1.073

Wenn du sowas nicht selber Lösen kannst kannst du das mal mit Photomath probieren.

Wendestellen f''(x) = 0

20·e^{- 2·x} - e^{- 0.5·x} = 0 → x = 2/3·LN(20) = 1.997

Könntest du mir noch erklären, wie du auf x = 2/3·LN(20) gekommen bist?

20·e^{- 2·x} - e^{- 0.5·x} = 0

20·e^{- 2·x} = e^{- 0.5·x}

20 = e^{- 0.5·x}/e^{- 2·x}

20 = e^{1.5·x}

LN(20) = 1.5·x

LN(20) = 3/2·x

x = 2/3·LN(20)

Comments

Alles richtig. Der Wendepunkt ist dann (2/3·ln(20)| 4-3/8·\sqrt[3]{50}).

---

Sorry das ich nochmal frage aber wie kommst du auf x = 2/3·LN(5) ?

Bei mir komme ich anstatt auf 1,5 immer auf 2,5

---

2·e^(- 0.5·x) - 10·e^(- 2·x) = 0
2·e^(- 0.5·x) = 10·e^(- 2·x)
e^(- 0.5·x)/e^(- 2·x) = 10/2
e^(1.5·x) = 10/2
1.5·x = LN(10/2)
3/2·x = LN(5)
x = 2/3·LN(5)

Answer 2

f '(x)=0

-10e^(-2x)+2e^(-0,5x)=0

(e^(-0,5)/(e^(-2))^x = 0,2

e^(1,5x) = 0,2

x= ln0,2/1,5

Wendepunkt:

f ''(x) = 0

-20e^(-2x)-e^(-0,5x)=0

...

Answer 3

Zum Zeitpunkt x=0 hat man 4 Bergziegen, zu denen 1 dazukommen und 0 sterben. (1., 2., 3. Term), also 5 Stück.

zum Zeitpunkt x=1 hat man 4 Bergziegen, zu denen 5e^(-2*1) dazukommen und 4e^(-0,5*1) sterben. (1., 2., 3. Term)

zum Zeitpunkt x hat man 4 Bergziegen, zu denen 5e^(-2*x) dazukommen und 4e^(-0,5*x) sterben. (1., 2., 3. Term)

Answer 4

Hallo

dass die 2 Funktionsteile e^-2x und e^-0.5x beides Funktionen sind die relativ schnell gegen 0 gehen weisst du hoffentlich. Der erste Term wird addiert, d.h. der Zuwachs von anfangs 5 wird schnell kleiner, das kann sowas wie abnehmende Geburten bedeuten, der zweite Term wird subtrahiert , d,h. Verlust, aber auch der nimmt -wenn auch langsamer- ab, Verlust etwa durch Krankheit, Schlachten, Wölfe.

 zusammen haben die beiden Terme ein Minimum bei x=1, wenn x die Zeit ist sind es also nach einer Zeiteinheit nur noch ca 2 Ziegen. danach erholt sich der Bestand langsam wieder auf vier  kann aber nie größer werden.

Soweit die Erklärung. jetzt die Kritik an der Aufgabe: Den Bestand von Anfangs 5 Z mit dieser Funktion zu beschreiben ist nicht sehr sinnig, da die funktion nur wenige ganzzahlige Werte hat  so ist der Bestand nach x=0,39 noch 3, nimmt dann bis x=1 weiter ab, bleibt aber über 2 (wie soll das gehen) erholt sich auf 3 nach x=2,7 und bleibt danach ewig unter 4, erreicht die aber beinahe (wie soll das gehen?)

D.h. der Sachzusammenhang ist idiotisch.

Gruß lul