Unabhängigkeit von Ereignissen zeigen

Question

Aufgabe:

Sind A und B unabhängig, sind auch NICHT(A) und B unabhängig

Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass dies gilt? (Mit Formeln)

Answer 1

Hallo. Seien A und B unabhängig. Dann gilt \(\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\). \((*)\)

Es gilt \(\displaystyle(A^C\cap B)\cup(A\cap B)=B\) und \(\displaystyle(A^C\cap B)\cap(A\cap B)=\emptyset\).

Nach Additionsaxiom gilt \(\displaystyle\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A^C\cap B)+\mathbb{P}(A\cap B)\).

Also \(\displaystyle\mathbb{P}(A^C\cap B)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\overset{(*)}=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=(1-\mathbb{P}(A))\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A^C)\mathbb{P}(B)\)

Nach Definition sind damit \(A^C\) und B unabhängig.

Comments

was bedeutet das "(*)" über dem gleich beim letzten schritt?

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Sind A und B unabhängig

Ich würde (*) lesen als: "gemäss der eben zitierten Voraussetzung".

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Das \((*)\) ist in der ersten Zeile für die Gleichung der Unabhängigkeit gesetzt worden. Du kannst an das = auch Unabhängigkeit von A und B schreiben. Habe mir so nur Schreibarbeit erspart.

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1. Frage: Wie komt man hierauf?

(AC∩B)∪(A∩B)=B also durch welche Regel?

2.Frage: zu diesem Schritt

P(B)−P(A)P(B)=(1−P(A))P(B)=P(AC)P(B)

wieso hat man aus P(B) eine 1- ... gemacht? also heisst dass das P(B) die ganze wahrscheinlichkeit also 1 ist?

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1. \((A^C\cap B)\cup(A\cap B)\)

\(=(A^C\cup A)\cap B\)         Distributivgesetz

\(=B\)

2. Aus der Differenz wurde ein Produkt gemacht. Dazu habe ich P(B) ausgeklammert.

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Hallo Annika,

1)    A^C = alles außerhalb von A

(A^C∩B)∪(A∩B)

ist die Menge der Elemente von B, die nicht in A liegen

       ∪ Menge der Elemente von B, die in A liegen

das sind gerade alle Elemente von B

2)  P(B)−P(A)P(B)=(1−P(A))P(B)=P(AC)P(B)

Da wurde P(B) ausgeklammert:

    b - a·b = (1 - a) · b

Wenn du die rechte Seite ausmultiplizierst, erhältst du die rechte Seite.

Gruß Wolfgang