Polynomfunktion 2. Grades

Question

Kann eine Polynomfunktion 2. Grades 2 Nullstellen haben?

Hat sie immer genau einen Extremwert?

Wie viele Wendepunkte hat sie mindestens? Einen?

Comments

Hallo Nafets,

deine Frage verwundert mich. Die Themen der bisher von dir gestellten Fragen lassen vermuten, dass du mindestens die Klasse 11 besuchst. Ich glaube nicht, dass du die Klasse 9 übersprungen hast (in der quadratische Funktionen ein zentrales Thema waren).

Was du hier als "Polynomfunktion 2. Grades" bezeichnest, sind einfach nur quadratische Funktionen. Da sollten keine Fragen mehr offen sein bezüglich der Existenz von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.

Answer 1

Eine Funktion 2.Grades kann
keinen Nullpunkt
einen Nullpunkt
2 Nullpunkte haben

 

Eine Funktion 2.Grades
f ( x ) = x^2
f ´( x ) = 2x
f ´´ ( x ) = 2
hat immer die gleiche Krümmung ( aber ungleich null ).
Ein Wendepunkt hat die Krümmung null.
Eine Funktion 2.Grades hat daher keinen
Wendepunkt.

Answer 2

Aloha :)

2 Nullstellen: Ja, kann sie haben, muss aber nicht.

\((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\) hat die beiden Nullstellen \(1\) und \(2\).

\(x^2+1\) hat keine Nullstelle, denn der Wert ist immer \(\ge1\).

Immer genau einen Extremwert: Ja.

$$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right)$$$$=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right)+a\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$$

Der quadratische Term hat sein Minimum bei \(x=-\frac{b}{2a}\). Dort liegt das Extremum des Polynoms 2-ter Ordnung.

Keine Wendepunkte. Die Krümmungsrichtung ändert sich bei einem Polynom 2-ter Ordnung nicht.