Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale. Partielle Integration und Partialbruchzerlegung bei b)

Question

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

$$ \text { a) } \int x\left[\mathrm{e}^{-5 x}+\cos \left(2 x^{2}\right)\right] \mathrm{d} x ; \quad \text { b) } \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x $$

Hinweis zu b): Partielle Integration und anschließende Partialbruchzerlegung.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei Aufgabe 1b. helfen? Ich hab die partielle Integration und die Partialbruchzerlegung nicht verstanden.

Answer 1

Die Idee :

\( \int \frac{x \cdot \ln (x)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x=\int \ln (x) \cdot \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x \)

u=  (-1)/(2(x^2+1))                        v= ln(x)

u'= x/((1+x^2)^2)                            v'= 1/x

allgemein gilt:

∫ u' v dx= u v -∫ u v' dx

\( =\frac{-1}{2\left(x^{2}+1\right)} \cdot \ln (x)-\int \frac{-1}{2\left(x^{2}+1\right)} \cdot \frac{1}{x} d x \) \( =\frac{-\ln (x)}{2\left(x^{2}+1\right)}+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x \)

Ansatz für die PBZ:

 1/(x(x^2+1)) = A/x +(Bx+C)/(x^2+1)

dann Koeffizientenvergleich usw.

Answer 2

Aloha :)

$$\int x\left[e^{-5x}+\cos(2x^2)\right]\,dx=\int \underbrace{x}_{=u}\underbrace{e^{-5x}}_{=v'}\,dx+\int x\cos(2x^2)\,dx$$$$=\underbrace{x}_{=u}\underbrace{\frac{e^{-5x}}{-5}}_{=v}-\int \underbrace{1}_{=u'}\underbrace{\frac{e^{-5x}}{-5}}_{=v}\,dx+\frac{1}{4}\int \underbrace{4x}_{\text{innere}}\underbrace{\cos(2x^2)}_{\text{äußere}}\,dx$$$$=-\frac{x}{5}e^{-5x}+\frac{1}{5}\int e^{-5x}\,dx+\frac{1}{4}\sin(2x^2)$$$$=-\frac{x}{5}e^{-5x}-\frac{1}{25}e^{-5x}+\frac{1}{4}\sin(2x^2)+\text{const.}$$$$=-\frac{5x+1}{25}e^{-5x}+\frac{1}{4}\sin\left(2x^2\right)+\text{const.}$$

$$\int\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int\underbrace{\ln x}_{=u}\underbrace{\frac{2x}{(1+x^2)^2}}_{=v'}\,dx=\frac{1}{2}\left[\underbrace{\ln x}_{=u}\underbrace{\frac{-1}{1+x^2}}_{=v}-\int\underbrace{\frac{1}{x}}_{=u'}\underbrace{\frac{-1}{1+x^2}}_{=v}\,dx\right]$$$$=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\int\frac{1}{x(1+x^2)}\,dx\right]=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\int\frac{(1+x^2)-x^2}{x(1+x^2)}\,dx\right]$$$$=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx\right]=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{2x}{1+x^2}\right)dx\right]$$$$=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\ln x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]+\text{const.}$$$$=\frac{1}{2}\left[-\frac{\ln x}{1+x^2}+\frac{\ln x+x^2\ln x}{1+x^2}-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]+\text{const.}$$$$=\frac{x^2\ln x}{2(1+x^2)}-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+\text{const.}$$