Frage zu komplexen Untervektorräumen

Question

Hi,

ich komme mit einer LA Aufgabe nicht wirklich klar: ich soll beantworten, ob für jeden reellen Komplementärraum W von U auch L_ℂ(W) (Ich denke mal, dass hier die lineare Hülle von W gemeint ist) ein ℂ Komplementärraum von U ist. Dabei sei V ein ℂ Vektorraum und U ein ℂ Untervektorraum von V.

Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll. Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen.....

Bin über jede Antwort dankbar.

VG:)

Comments

Was meinst du mit "ℂ Vektorraum von U"?

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Vielen Dank für die Antwort:) gut, dass du mich drauf aufmerksam machst, es sollte eigentlich C-Komplementärraum  heißen.

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Ich habe das in deiner Frage berichtigt.

Hast du bereits eine Vermutung?

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Ich würde vermuten dass das nicht stimmt, weil  L_ℂ(W) ja eine höhere Dimension hat, oder?

Answer 1

Zum Kommentar: \(L_\mathbb{C}(W)\) muss nicht unbedingt größer sein als \(W\), z.B. \(L_\mathbb{C}(\mathbb{C})\cong \mathbb{C}\). Dummes Beispiel, aber muss man sich trotzdem mal klarmachen.

Und du hast recht, die Aussage stimmt nicht. Nimm als Obervektorraum \(V=\mathbb{C}^2\) und betrachte die reellen komplementären Vektorräume \(U = L_\mathbb{R}(\{(1,0),(0,1)\})\) und \(W = L_\mathbb{R}(\{(i,0),(0,i)\})\). Die beiden Vektorräume sind natürlich reelle Vektorräume der Dimension 2 und spannen den gesamtem Raum \(V\) auf in der Summe, also sind sie komplementär. Aber \(L_\mathbb{C}(W)\cong \mathbb{C}^2\) ist natürlich nicht komplementär zu \(U\).

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Vielen Dank!:)