.. noch 'ne Antwort ;-)
wenn man sich über den erweitereten Euklidischen Algorithmus eine Linearkombination bestimmt, für die \(3a+5b=1\) ist, dann kommt man durch Multiplikation mit \(n\) zu einem beliebigen Wert. Weiter kann man durch Addition von 'Null' die Koeffizienten \(a\) und \(b\) variieren. Formal sieht das so aus:$$\begin{aligned} 3\cdot (2) + 5 \cdot (-1) &= 1 && \left|\, \cdot n \right.\\ 3\cdot (2n) + 5 \cdot (-n) &= n && \left|\, + 0 = 3\cdot (-5k) + 5 \cdot (3k)\right. \\ 3\cdot (\underbrace{2n-5k}_{a}) + 5 \cdot (\underbrace{3k-n}_{b}) &= n \end{aligned}$$ \(a\) und \(b\) sind jetzt genau dann \(\ge 0\) und damit \(\in \mathbb{N}_0\) wenn$$2n - 5k \ge 0 \space \land \space 3k-n \ge 0\\ \implies \frac 13 n \le\, k \le \frac 25 n \quad k \in \mathbb{N}_0$$Das kann man sich auch graphisch veranschaulichen
~plot~ x/3;2x/5;{3|1};[[-1|13|-1|6]];{5|2};{6|2};{8|3};{9|3};{10|4};{11|4} ~plot~
Die horizontale Achse sind die Werte von \(n\) und auf der vertikalen kann man das \(k\) ablesen. Für obige Bedingung muss \(k\) zwischen den beiden Geraden liegen. Wie man sieht, ist das z.B. für die Trivialfälle \(n=3\) und \(n=5\) gegeben. Aber für \(n=4\) und \(n=7\) gibt es kein ganzzahliges \(k\) welches diese Bedingung erfüllt.
Die Bedingung ist immer erfüllt, wenn der Abstand der Geraden \(\ge 1\) ist. Also wenn gilt$$\begin{aligned} \frac 25 n - \frac 13 n &\ge 1 \\ 6n - 5n & \ge 15 \\ n &\ge 15\end{aligned}$$Wir müssen also nur die Fälle \(n=8\) bis \(n=14\) näher untersuchen. Dazu eine kleine Tabelle \(a=2n-5k, \quad b=3k-n\):$$\begin{array}{rc|rr}n& k=\lfloor \frac 25 n\rfloor& a& b\\ \hline 8& 3& 1& 1\\ 9& 3& 3& 0\\ 10& 4& 0& 2\\ 11& 4& 2& 1\\ 12& 4& 4& 0\\ 13& 5& 1& 2\\ 14& 5& 3& 1\end{array} $$Man sieht, dass in jeden Fall ein ganzzahliges \(k\) existiert mit \(a,b \in \mathbb{N}_0\). Womit bewiesen wäre, dass für jede natürliche Zahl \(n \gt 7\) die oben geforderte Darstellung \(3a+5b=n\) möglich ist.
