Differenzierbarkeit Lösung verstehen

Question

Aufgabe:

Differenzierbarkeit von \( \frac{1}{x^2} \)

Hier ist die Lösung, nur verstehe ich leider nicht wie man auf die Umformungen kommt, kann mir das bitte jemand erklären.

\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)

\( \begin{aligned} &=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x_{0}^{2}}}{x-x_{0}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{x_{0}^{2}-x^{2}}{x^{2} x_{0}^{2}}}{x-x_{0}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}-\frac{\frac{x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}{x-x_{0}^{2}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}-\frac{x+x_{0}}{x^{2} x_{0}^{2}} \end{aligned} \)

\( =-\frac{2 x_{0}}{x_{0}^{4}} \)
\( =-\frac{2}{x_{0}^{3}} \)

Answer 1

Betrachte mal erst nur den Zähler alleine:

$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_{0}^2}$$

Da werden ja 2 Brüche subtrahiert, also braucht man den

Hauptnenner, der ist hier das Produkt der Nenner, also

$${x^2}*{x_{0}^2}$$

Beide Brüche erweitern gibt

$$\frac{x_{0}^2} {    {x^2}*{x_{0}^2}  }-\frac{x^2}{    {x^2}*{x_{0}^2}  }$$

und dann auf einen Nenner:

$$\frac{x_{0}^2 - x^2} {    {x^2}*{x_{0}^2}  }$$

Jetzt im Zähler -1 ausklammern

$$ - \frac{x^2 -x_{0}^2 } {    {x^2}*{x_{0}^2}  }$$

und die 3. binomi. Formel  (rückwärts) anwenden gibt

$$ - \frac{(x -x_{0})*(x + x_{0}) } {    {x^2}*{x_{0}^2}  }$$

Wenn du das jetzt wieder in den ursprünglichen Bruch

einfügst, kannst du die Klammer mit x - xo kürzen und dann

wird es wohl klarer.