Beweise |exp(x)-1| ≤ 2*|x|

Question

Aufgabe:

Sei x Element aus den reellen zahlen mit |x|<1. Zeigen Sie, |exp(x)-1| ≤ 2*|x|.

\( |exp(x)-1| \leq 2|x| \)

\( |\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}-1|\leq 2| x | \)

Ansatz:

Die Exponentialfunktion wollte ich als unendliche Reihe ersetzten.

Nun weiß aber nicht weiter.

Comments

Vielleicht klappt's mit der Abschätzung des Restglieds. Laut Forster gilt$$\exp(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}+R_{N+1}(x)\text{, wobei}\\\vert R_{N+1}(x)\vert\le2\frac{\vert x\vert^{N+1}}{(N+1)!}\text{ für alle }x\text{ mit }\vert x\vert\le1+\tfrac12N.$$Für \(N=0\) sollte das die Aussage bestätigen.

Answer 1

Ich hatte nach dem missglückten Start heute morgen keine Zeit, jetzt aber:

zu zeigen: blau ≤ rot im Intervall [-1,1],        ob offen oder geschlossen ist egal!

Spiegele abs(e..) an der y-Achse. Die Aussage ist bewiesen, wenn die folgende Ungleichungskette gilt:

grün ≤ blau ≤ rot im Intervall [0,1]. Dadurch hat man keinen Ärger mit negativen Zahlen oder Beträgen.

z,z: 1 - e^-x ≤ e^x - 1 ≤ 2x   im Intervall [0,1]

(1) 1 - e^-x ≤ e^x - 1   I *e^x         Ich mache es heuristisch durch Äquivalenzumformung, damit nachvollziehbar:

⇔ e^x - 1 ≤ e^2x - e^x

⇔ 0 ≤ e^2x - 2e^x +1

⇔ 0 ≤ (e^x -1)²    ok wegen ^2

(2) e^x - 1 ≤ 2x  im Intervall [0,1]

Die linke Seite ist f(x). Der Graph ist eine Linkskurve, weil die 2. Abl.≥ 0.

Also liegt der Graph unterhalb der Geraden zwischen dem Anfangspunkt (0,0) und dem Endpunkt (1,e-1).

Diese Ursprungsgerade hat die Steigung e-1≈2,7 und liegt damit unter der Ursprungsgeraden y = 2x mit dem Endpunkt (1,2). q.e.d

Jetzt mit Taylor:

z.z.: e^x - 1≤ 2x     im Intervall [0,1]

⇔ e^x ≤ 1 + x + x    im Intervall [0,1]
Bew: e^x = 1+x+x²/2 + x³ * f''(ξ) / 6 mit ξ∈[0,x]

Nachweis, dass

x²/2 + x³ * f''(ξ) / 6  ≤ x

x²/2 + x³ * e^ξ / 6 ≤x²/2 + x³ * e¹ / 6 ≤ x²/2 + x³ * 1 / 2 ≤ \( \frac{x^{2}}{2} \) (1 + x) ≤ x

stimmt, denn der vorletzte Term ist eine Funktion durch (0,0) und (1,1), deren Graph eine Linkskurve ist, die unterhalb der 1. Winkelhalbierenden liegt.

Comments

Ganz oben steht : mit |x|<1

Answer 2

die Ungleichung $$ | e^x - 1 | \le 2 | x | $$ bedeutet das man die beiden Ungleichung $$ \mathbf{(1)} \quad f(x) \le 0 \ \text{ wenn } x \in [0,1]  $$ und $$  \mathbf{(2)} \quad f(x) \ge 0 \ \text{ wenn } x \in [-1,0]  $$ nachweisen muss, mit \( f(x) = e^x - 2x -1 \)

Die zweite Ableitung der Funktion \( f(x) = e^x - 2x -1 \) ist \( f''(x) = e^x > 0 \), also ist die Funktion \( f(x) \) konvex. Das bedeutet, dass folgende Ungleichung gilt

$$ \mathbf{(3)} \quad f(\Theta x + (1- \Theta) y) \le \Theta f(x) + (1- \Theta) f(y) \ \text{ für alle } \Theta \in [0,1] $$

\( \mathbf {Zu (1)} \)

Wähle \( x = 0 \) und \( y = 1\) dann gilt nach \( \mathbf { (3) } \) $$ f(1-\Theta) \le (1-\Theta)(e-3) \le 0 $$ Da diese Ungleichung für alle \( \Theta \in [0,1] \) gilt, folgt \( f(x) \le 0 \) für \( x \in [0,1] \)

\( \mathbf{Zu (2)} \)

Es gilt \( f'(x) = e^x -2 < 0 \)  im Intervall \( [-1,0] \). Also ist \( f(x) \) dort streng monoton fallend. Das Minimum wird also bei \( x = 0 \) angenommen. Es gilt \( f(0) = 0 \ge 0 \)

Damit ist alles gezeigt.

Comments

Könnten Sie bitte bei meiner Aufgabe kurz drüberschauen?

https://www.mathelounge.de/675223/portfolio-eines-versicherungsunternehmens-rucklagen

Vielen Dank

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Erstmal ganz lieben Dank für die schnelle Antwort. Gibt es, dennoch nicht eine Möglichkeit diese Ungleichung mit der unendlichen Summe zu lösen?

Meine Überlegung war die Exponentialfunktion durch die Summe zu ersetzten und diese erst beim Startwert 1 beginnen zu lassen und nicht bei Null, damit bei diesem Teil |exp(x)-1| die "-1" weg fällt.

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Das weiss ich nicht. Mir ist nur das eingefallen.

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habs probiert, bei mir war die Restgliedabschätzung immer zu grob oder zu unübersichtlich.

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Es geht doch, s. ganz unten!