Darstellende Matrix der Abbildung bestimmen mit kanonischer Basis

Question

Text erkannt:

A ufgabe \( 1 . \) (10 Punkte) Gegeben ist die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow R^{3} \), definiert durch
$$ f(x, y, z, w)=\left(\begin{array}{c} {2 x+z-w} \\ {x+w} \\ {x+z-2 w} \end{array}\right) $$
(a) Bestimmen Sie die bezüglich der Standardbasis (kanonischen Basis) darstellende Matrix der Abbildung \( f \)
(b) Bestimmen Sie Basis und Dimension von Kern \( f \)
(c) Bestimmen Sie die Dimension von Bild \( f \)

Aufgabe:

Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Verstehe diese Aufgabe nicht.

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Was verstehst Du nicht?

Answer 1

Die Abb der kanonischen Basis sieht so aus:

Das ist die kanonischen Basis

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,   \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,   \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,   \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Die Abb soll so sein:

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,      \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,      \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) ,    \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-2 \end{pmatrix} \) , 

Die Abb.Matrix besteht einfach aus den Zielvektoren:

A = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \)

Probier es aus:

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)   usw.

Der Kern der Matrix sind die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Also ausrechnen:

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Löse das LGS:

Es kommt heraus: alle Vektoren \( \begin{pmatrix} -z\\y\\3z\\z \end{pmatrix} \)

also nimm als Basisvektoren des Kerns: \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1\\0\\3\\1 \end{pmatrix} \)

Kern ={\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) *k+\( \begin{pmatrix} -1\\0\\3\\1 \end{pmatrix} \)*j, k,j∈ℝ}

dim(Kern f) = 2, weil die Basis zwei Vektoren enthält.

dim(Bild f) = rang(A) =2, da

dim(Kern f) + dim(Bild f) = dim (Definitionsbereich) = dim ℝ⁴ =4

Comments

Berechne doch mal das Blid von

\(\small \left(\begin{array}{r}-1\\0\\3\\1\\\end{array}\right)\)

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Danke, Return im LGS-Progr vergessen.