Aloha :)
Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich, die gesuchte Ungleichung steht doch schon da, du musst nur noch die \(n\)-te Wurzel ziehen:$$\frac{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}}{n \cdot 1} \geq x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n} \quad\text{für}\quad x_{k}>0\;;\; k=1,2, \ldots, n$$Definierte \(y_i:=x_i^n>0\), dann ist \(x_i=\sqrt[n]{y_i}\) und einsetzen liefert:$$\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n} \geq \sqrt[n]{y_1}\cdot\sqrt[n]{y_2}\cdots \sqrt[n]{y_n}=\sqrt[n]{y_1\cdot y_2\cdots y_n}$$Für den Fall, dass alle \(y_i\) gleich sind, etwa gleich \(y\), gilt:$$\frac{\overbrace{y+y+\cdots+y}^{\text{n Summanden}}}{n} =\sqrt[n]{\underbrace{y\cdot y\cdots y}_{\text{n Faktoren}}}\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{ny}{n}=\sqrt[n]{y^n}\;\;\Leftrightarrow\;\;y=y$$Arithmetisches und geometrische Mittel sind daher gleich, wenn alle Werte gleich sind.
