Beweisen Sie, dass aus x1 · x2 · . . . · xn = 1 stets x1 + x2 + . . . + xn ≥ n · 1 folgt.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für jedes n ∈ N und positive Elemente xk > 0, k = 1, 2, . . . , n, eines
geordneten Körpers K aus x1 · x2 · . . . · xn = 1 stets x1 + x2 + . . . + xn ≥ n · 1 folgt.

Comments

" x1 · x2 · . . . · xn = 1 stets x1 + x2 + . . . + xn ≥ n · 1 "

Sicher, dass das stimmt? Die rote 1 wäre überflüssig.

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n ist eine natürliche Zahl. n·1 ist ein Körperelement. Daher macht die rote 1 schon Sinn.

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Ok. Verwendet man da nicht e ? Das kann jedenfalls sein. Danke. Die verschiedenen xi sind ja Elemente des Körpers.

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https://www.mathelounge.de/675312/leiten-sie-daraus-die-ungleichung

ist ja wohl die dort vermisste Fortsetzung zu dieser Frage?

Answer 1

Satz:  \( \prod_{k=1}^{n}{x_k} \) =1 ⇒ \( \sum_{k=1}^{n}{x_k} \) ≥n ⇔ \( \sum_{k=1}^{n}{x_k} \) - n ≥ 0 ⇔\( \frac{1}{n} \) \( \sum_{k=1}^{n}{x_k} \) -1 ≥ 0

Sei L(x1,x2,...,xn,λ) = \( \sum_{k=1}^{n}{x_k} \) + λ( \( \prod_{k=1}^{n}{x_k} \)    -1)    nach λ kommt die NB

Wo wird L(x₁,x₂,...,x_n,λ) extremal?

nach x_i:   \( \frac{δL}{δx_i} \) (x1,x2,...,xn,λ) = 1 + λ \( \prod_{k=1, k≠i}^{n}{x_k} \) = 0   I * x_i

⇒ x_i  + λ \( \prod_{k=1}^{n}{x_k} \)  =0

⇒ x_i  + λ *1  =0

⇒ x_i  = - λ

Da alle x_i gleich sind und das Produkt 1 ist, müssen alle x_i = 1 sein.

stationärer Punkt (1,1,...,1)

Nachweis globales Minimum:

mit Hesse oder vielleicht so: alle anderen Werte ≠ 1 eingesetzt, ergeben Σ>n, also wenn n erreicht wird, liegt ein globales Min vor.