konvergenz und divergenz folgen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für beliebige Folgen (xn)n∈N:

(a) Wenn (xn)n∈N bestimmt gegen −∞ divergiert, dann konvergiert (e^xn)n∈N gegen 0. (also lim x→−∞e^x = 0).

(b) Wenn (xn)n∈N gegen 0 konvergiert, divergiert− 1 x2 nn∈N bestimmt gegen −∞. ( lim x→0− 1 x2= −∞ )

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll.

Answer 1

bekannt ist: e^x→∞ für x→∞ , anders ausgedrückt: e^xn→∞ für x_n→∞, anders ausgedrückt:

Zu jedem N∈ℕ ex. ein N'∈ℕ, so dass e^N' > N.

Sei ε>0 vorgegeben, wähle N=[1/ε]+1. Dann ex also ein N'∈ℕ mit:

0 ≤ e^-xn = 1/e_xn < 1/e^N' < 1/N < ε, also Konv gegen 0.

Für Funktionen ausgedrückt: \( \lim\limits_{x\to-\infty} \) \( e^{x} \) = \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( e^{-x} \) = 0