Arithmetisches Mittel von Teilsummen einer konvergenten Folge

Question

Aufgabe:

Sei (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Man zeige, dass dann auch (A_n)_n∈ℕ gegen a konvergiert, wobei

A_n = \( \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k} \)

Problem/Ansatz:

Ich sitze schon etwas länger daran, aber ich bekomme nichts gescheites hin. Könnte mir da jemand aushelfen? Erklärung wäre gut, aber nicht Pflicht.

Ich danke schon mal im voraus.

Comments

Sollten dir die Antworten auf die bisherigen Fragen geholfen haben, ist es schön, wenn du nachträglich Sterne vergibst.

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EDIT: Habe nun eines deiner Sternchen entfernt und a_{k} in die Summe geschrieben.

Innerhalb einer Zeile mit LaTeX kannst du in diesem Editor die "normale" Tiefstellung nicht verwenden. Mit dieser Eingabe, kommt der Index von a dennoch an die richtige Stelle.

Text erkannt:

U) Y( IsumVimits \( \left.\{\mathrm{k}=1\} \text { YY } \mathrm{n} \text { Y } \mathrm{Xa}_{-} \mathrm{k}\right\} \) y

Answer 1

Hier die gleiche Frage für komplexe Folgen: https://www.mathelounge.de/402628/arithmetisches-mittel-beweisen-konvergenter-komplexer-zahlen

Im Reellen ist das dasselbe. Die reellen Zahlen bilden eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

Im Link viele Links (bestimmt auch zu reellen Zahlenfolgen). Falls irgendwo die Summe mit k=0 beginnt, machst du eine Indexverschiebung.

Comments

Wäre das dann:

\( \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} a_k\) ?

Nur so als Verständnisfrage zur Indexverschiebung.

Grüße Matlab4Life

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Denn ich würde ja nach rechts verschieben.

Oder wäre es dann aufgrund dessen so, dass ich jedes k in der Summe -1 nehmen muss und bis n+1 laufen würde.

Wenn die Indexverschiebung gemacht wurde, wäre der Beweis dann auch noch der selbe?

Das verwirrt mich jedes mal.

Ich bedanke mich jetzt schon einmal für eine Antwort

Grüße Matlab4Life

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Ja. Das müsste passen. Der Grenzwert der Durchschnitte und der Grenzwert der Folge ist dasselbe, falls beide existieren. Intuitiv sind die unendliche vielen Zahlen ganz, ganz nahe beim Grenzwert immer stärker als eine endliche Anzahl "Ausreisser" weiter vorn in der Folge. Reine Analysisaufgabe?

Allenfalls musst du den exakten Kontext deiner Fragestellung angeben. Vgl.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz mit

https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrale_Grenzwerts%C3%A4tze

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Danke dir für deine schnelle Antwort. Die hat mir definitiv etwas weitergeholfen.

Meine Aufgabenstellung lautet:

Sei \( a\) eine reelle Folge, die auf \( \alpha \in \mathbb{\hat{R}} \) konvergiert. Sei

\(b : n \rightarrow \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} a_k\) die Folge der arithmetischen Mittel von a. Zeigen Sie \(b\) konvergiert auch auf \( \alpha \).

Und in diesem Fall ist es ja so, da der Index schon bei \(0\) beginnt, dass \(\frac{1}{n+1} \) benutzt wird. Die ganze Indexverschiebung hatte mich verwirrt und dann wusste ich nicht ganz was ich in der Aufgabe machen soll. Ist dank dir jetzt etwas verständlicher geworden.

Danke und Grüße Matlab4Life

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Denn an sich ändert es ja nichts am Beweis oder?

Grüße Matlab4Life

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Sei \( a\) eine reelle Folge, die auf \( \alpha \in \mathbb{\hat{R}} \) konvergiert.

Was soll das genau bedeuten? Vielleicht:

Sei \( a\) eine reelle Folge, die gegen \( \alpha \in \mathbb{\hat{R}} \) konvergiert.

Wenn ja, dann sollte das Umschreiben des Beweises kein Problem sein.

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Ja genau das soll es heißen. Ich danke dir für deine Bemühungen und wünsche dir noch eine schöne und gesunde Woche.

Grüße Matlab4Life