Stetigkeit mit einem Parameter a

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, mit Begründung, in welchen \( x \in \mathbb{R} \) die folgenden Funktionen stetig sind. In Teil (b) sollen Sie dies in Abhängigkeit des Parameters \( a \in \mathbb{R} \) bestimmen.

(a) \( \quad f(x)=\left\{\begin{aligned}\left|\frac{\sin x}{x}\right| &, x \neq 0 \\ 1 &, x=0 \end{aligned}\right. \)
(b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{\sqrt{1+x}-1}{|x|}} & {, x \neq 0} \\ {a} & {, x=0}\end{array}\right. \)

Ich beschäftige mich gerade mit Stetigkeit und versuche mich gerade an der Aufgabe. Es geht hauptsächlich um die Aufgabe b. Mir fällt zwar der Ansatz ein den links und rechtsseitigen Limes zu bestimmen, jedoch weiß ich nicht wie ich dies machen soll.

Answer 1

a)   \( \lim\limits_{x\to0} \dfrac{sin(x)}{x}=1\)   ist eigentlich ein  bekannter Grenzwert.

       Aber Georg hat das ja auch noch einmal begründet:

      Zähler und Nenner streben beide gegen 0, deshalb kann man stattdessen deren

      Ableitungen einsetzen (Regel von l ' Hospital):

       →   \( \lim\limits_{x\to0} \left|\dfrac{sin(x)}{x}\right| = \lim\limits_{x\to0} \left|\dfrac{cos(x)}{1}\right|= 1=f(0)\)

       →  f ist stetig in x=0 und damit für alle x∈ℝ

b)           \( \lim\limits_{x\to0}\dfrac {√(x + 1) - 1}{|x|} \)

          \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac {(√(x + 1) - 1)·(√(x + 1) + 1)}{|x|·(√(x + 1) + 1)} \)

          \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac {x}{|x|·(√(x + 1) + 1)} \)

          Daraus ergibt sich

              \(\lim\limits_{x\to0+}\dfrac {x}{x·(√(x + 1) + 1)} =\lim\limits_{x\to0+}\dfrac {1}{√(x + 1) + 1}= \dfrac{1}{2} \)

              \(\lim\limits_{x\to0-}\dfrac {x}{-x·(√(x + 1) + 1)} =\lim\limits_{x\to0-}\dfrac {-1}{√(x + 1) + 1}= -\dfrac{1}{2} \)

               Da die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert kein Grenzwert

               und die Funktion ist - unabhängig von a - nicht stetig in x=0 .

               Sie ist stetig für x ∈ [ -1 ; ∞ [ \ {0}, weil sie nur in  [ -1 ; ∞ [  definiert ist

Gruß Wolfgang

Comments

Wir dürfen den Hospital nicht benutzen... weiß jemand wie man das ohne lösen kann?

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Findest du z.B. hier (sehr gut und ausführlich erklärt!):

https://www.youtube.com/watch?v=915GAsC5bLM

Answer 2

Tipp zu b) Immer erster Trick bei unklaren Differenzen in denen eine Wurzeln beteiligt ist: Erweitern mit 3. binomischer Formel.

Deine Idee:

links und rechtsseitigen Limes

Im Idealfall kommst du ohne Fallunterscheidung aus.

zu a) du könntest oben die Taylorreihe des Sinus verwenden. Dann aus dem Bruch eine Summe von Brüchen machen. Eimal kürzen. Grenzübergang und dann Betrag.

Comments

Danke für den Tipp komme dann auf

\( \frac{x}{|x|}\)

Ist  das richtig gelöst?

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a) oder b) ?

und sicher, dass du oben keinen Betrag hast?

 (wir wissen ja nur, dass x in der Nähe von 0 ist, also z.B. -1/2 < x < 1/2 , x≠0)

Ein allfälliger berechneter Grenzwert bei b) gehört dann in die Diskussion "in Abhängigkeit von a". Also danach eine Fallunterscheidung:

1. Fall a = berechneter Grenzwert, bedeutet f ist stetig.

2. Fall a ≠ berechneter Grenzwert, bedeutet f ist nicht stetig.

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Habe gerade einen Fehler entdeckt. Musste kurz überarbeiten

Beziehe mich auf b. Für a habe ich einen Lösungsweg mit der Reihenentwicklung.

bekomme dann raus:

\( \frac{x}{|x|* √(1+x)-|x|}\)

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Sehe gerade, dass sich der Fragesteller möglicherweise vertan hat. Der Links- und Rechtsseitige Grenzwert ist offensichtlich verschieden. In der Graphik ist nur die blaue Kurve (Realteil) relevant. D.h. unabhängig von a ist die Funktion in x= a nicht stetig.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%E2%88%9A%281%2Bx%29+-+1%29+%2F+%7Cx%7C+

Text erkannt:

Plots
\( \begin{aligned} 0.5 & \\ \frac{-1.0-0.5}{-1.0-0.5} & 0.5 \quad 1.0 \quad 1.5 \\ &-0.5 \\ &-1.0 \\ & \quad \quad(x \text { from }-8.9 \text { to } 9.1) \\ \hline \end{aligned} \)

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Verwende bitte Klartext. Falls keine Klammern fehlen, kannst du im Nenner |x| ausklammern. Mach das.

Dann Fallunterscheidung:

Für x> 0 einfach x mit |x| kürzen. Dann Grenzübergang zu 1/(√(1+0) + 1) = 1/(1+1) = 1/2

Für x< 0 einfach x mit |x| kürzen und ein Minus 1 oben stehen lassen. Dann Grenzübergang zu -1/(√(1+0) + 1) = -1/(1+1) = -1/2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28%28%E2%88%9A%281%2Bx%29+-+1%29+%2F+%7Cx%7C+%29

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konnte die Antworten leider erst jetzt sehen.

Aber in welchen x ist jetzt f(x) stetig (in Abhängigkeit von a) ?

Da du meintest, dass diese ja unabhängig voneinander seien.

Oder habe ich etwas falsch verstanden

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Der Definitiionsbereich von b) ist D = { x € R | x≥ -1 }

In allen x Element D x≠0 ist f(x) b) sowieso stetig.

In x=0 ist f(x) in b) nicht stetig, egal was man für a einsetzt.

Darum habe ich geschrieben, dass der Fragesteller wohl bei der Frage nicht so genau überlegt hat. Da die Antwort nicht von a abhängt.

Falls ihr linksstetig oder rechtsstetig (das ist aber nicht stetig) kennt, kannst du bei a) ein paar Fälle unterscheiden. a = 1/2, a = -1/2 und sonst. Danach ist aber nicht gefragt, darum kannst du das ruhig weglassen. 

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Kann vielleicht jemand nochmal erklären wie man jetzt auf jeweils die Lösungen für a) und b) kommt?

Ich steige da nicht mehr durch

Answer 3

Kann vielleicht jemand nochmal erklären wie man jetzt auf jeweils die Lösungen für a) und b) kommt ?

a.)
sin(x) / x 
Annäherung von rechts
lim x -> 0(+) [ sin(0) / 0 ] = 0 / 0
l´hospital
sin(x) ´ = cos ( x )
x ´= 1
lim x -> 0(+) [ cos(0) / 1 ] = 1 / 1 = 1

Annäherung von links
lim x -> 0(-) [ sin(0) / 0 ] = 0 / 0
l´hospital
sin(x) ´ = cos ( x )
x ´= 1
lim x -> 0(-) [ cos(0) / 1 ] = 1 / 1 = 1
Der links- und rechtsseitige Grenzwert ist 1
( auch ohne abs () )
und gleich dem Def-Wert für x = 0
Die Funktion ist stetig.

Comments

Aber was heißt l´hospital?

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Mit l´hospital können Ausdrücke wie
0 / 0, ∞ / ∞ und ∞ * 0 bestimmt werden.
Schau einmal im Internet nach.

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Dankeschön!!!