Lineare unabhängigkeit beim dazunehmen eines Vektors ausserhalb des Span

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum, wobei v1, ... ,vm ∈ V linear unabhängig sind.

Zeigen Sie, dass

für v ∈ V OHNE Span(v1 , ... ,vm) auch

v1, ... , vm , v

linear unabhängig sind.

-----------------------------------------------------------------------
Problem/Ansatz:

Wenn v nicht im Span liegt, heisst das doch, dass ich es als Linearkombination von v1, ... , vm schreiben kann.

Wenn man sich das (der Anschaulichkeit halber) für z.B. einen dreidimensionalen Raum überlegt, kann man ja sagen, dass dadurch nie der gleiche Vektor rauskommen kann, wie einer der im Span enthalten ist, somit wäre die lineare Unabhängigkeit  gegeben, da er ja dann immer in eine andere 'Richtung' zeigt als die Elemente v1 bis vm.

Meine Frage: wie beweist man das richtig?

Kann es mir zwar gut zusammendenken, wwarum das stimmt aber beweisen ist wieder eine andere Sache...

Vielen Dank.

Answer 1

Wenn v nicht im Span liegt, heisst das doch, dass ich es als Linearkombination von v1, ... , vm schreiben kann.

Das Gegenteil ist der Fall.

Als Linearkombination von v₁, ..., v_m können nur die Vektoren geschreiben werden, die auch in Span(v₁ , ..., v_m) liegen.

Wenn man sich das (der Anschaulichkeit halber) für z.B. einen dreidimensionalen Raum überlegt, ...

... dann könnte Span(v₁ , v₂) eine Ebene beschreiben, die durch den Ursprung verläuft und v der Ortsvektor eines Punktes sein, der nicht in dieser Ebene liegt.

wie beweist man das richtig?

Man greift auf die Definition der linearen Unabhängigkeit zurück: eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur auf triviale Weise als linearkombination dieser Vektoren geschrieben werden kann.

Sei also v ∈ V \ Span(v₁, ..., v_m) und α_v·v + ∑_i=1..m  α_i·v_i = 0.

Umformen liefert

        -α_v·v = ∑_i=1..m  α_i·v_i.

Angenommen -α_v ≠ 0. Dann ist

        v = ∑_i=1..m  -α_i/α_v·v_i.

Dann ist v ∈ Span(v₁, ..., v_m). Das ist ein Widerspruch zu v ∉ Span(v₁, ..., v_m).

Also ist -α_v = 0 und somit α_v = 0.

Begründe, warum dann auch α_i = 0 für alle i ∈ {1, ..., m} sein muss.