Grenzwert einer Folge mit Fakultät bestimmen

Question

meine Aufgabe ist es die Grenzwerte folgender Folgen zu bestimmen:

a) \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{n!^{2}}{2n!} \)

b) \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( (\frac{n^{n}}{n!})^{1/n} \)

c) \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \sqrt{n+1} \) -\( \sqrt{n} \)

Mein Problem ist nun, dass mir der Ansatz fehlt, um auf den richtigen Weg zu kommen.

Wäre eine Abschätzung als erster Schritt hier sinnvoll? Könnte ich bei c) mit einer binomischen Formel weiterkommen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, liebe Grüße!

Answer 1

Hallo Nelly,

zu a) Majorantenkriterium: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{2n!} &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{n! \prod_{i=1}^n (n+i)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\prod_{i=1}^n (n+i)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \frac{i}{n +i} \\ &\le \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \frac{\frac 12 (n+i) }{n +i} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac 12 \right)^n = 0 \end{aligned}$$In der 4. Zeile könnte man genauso gut \(\le \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0\) schreiben, da alle Folgeglieder mit \(i \gt 1\) kleiner oder bestenfalls gleich 1 sind.

zu b ) bin ich mir etwas unsicher .. ich würde einfach für \(n!\) die Stirlngformel einsetzen, die ja für große \(n\) korrekt ist. Es ist dann $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{n!}\right)^{\frac 1n} = \lim_{n \to \infty} \frac {n}{ \left( \sqrt{2 \pi n}\right)^{\frac 1n} \cdot \frac ne} = e$$zu c)

Könnte ich bei c) mit einer binomischen Formel weiterkommen?

Ja - mit der 3.binomischen Formel Erweitere den Ausdruck mit \(\sqrt{n+1} + \sqrt n\) $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+1} - \sqrt n &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \\ &= 0\end{aligned}$$... da der Nenner ohne Zweifel gegen unendlich strebt.

Gruß Werner

Comments

Hi Werner,

zu b) habe ich noch noch eine Alternative vorgestellt. Die Stirling-Formel ist aber einfach eine Allzweckwaffe :-)

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Hallo Werner,

vielen Dank für deine Erklärung, das macht mir doch einiges klarer. Manchmal will man einfach nicht auf den richtigen Weg abbiegen...

Allerdings habe ich noch eine Frage:

zu a) die erste Zeile, wie kommst du auf diese Umformung im Nenner?

das gilt: n! = \( \prod_{i=0}^{n}{i} \) ist mir klar, warum aber dann für (2n)! = n! \( \prod_{i=1}^{n}{(n+i)} \) ?

Die restlichen Folgerungen sind mir klar! Für die b) werde ich wohl eher auf die Idee von racine_carree zurück greifen...

Besten Dank!

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... warum aber dann für \((2n)! = n! \cdot \prod_{i=1}^{n}{(n+i)}\)

mache Dir die Faktoren deutlich:$$\begin{aligned} n! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n-1) \cdot n \\ (2n)! &= \underbrace{1 \cdot 2 \dots n}_{=n!} \cdot \underbrace{(n+1) \cdot (n+2) \dots (n+n) }_{=\prod_{i=1}^n (n+i)}\end{aligned}$$

Für die b) werde ich wohl eher auf die Idee von racine_carree zurück greifen...

das ist auch besser ;-)

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Oh ja na klar!!! DANKE, jetzt ist es deutlich geworden :)

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Hallo Werner,

ich nehme an mein Kommentar ist untergegangen, die Frage ist schließlich auch schon wieder etwas älter ;)

Vielleicht kannst du mir bei Gelegenheit noch meinen Kommentar beantworten, vielen Dank!

https://www.nanolounge.de/24345/freikorperbild-einer-mit-kraften-belasteten-welle

Answer 2

Werner hat ja schon vieles gesagt, zu b) musst du allerdings nicht die Stirling-Formel verwenden. Dieser Zusammenhang wurde letztes Semester bei mir bewiesen:

Für alle \((a_n)_n\subset \mathbb{R}\) mit \(a_n >0\) und für alle \(n\in \mathbb{N}\):$$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}\leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Mit \(a_n:=\frac{n^n}{n!}\) folgt \(\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\) und  $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\frac{n!\cdot (n+1)^{n+1}}{n^n\cdot (n+1)!}=\frac{n!\cdot (n+1)^n\cdot (n+1)}{n^n\cdot n!\cdot (n+1)}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ Insgesamt folgt also:$$e\longleftarrow \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\longrightarrow e$$ und damit insbesondere:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$$

Comments

Vielen lieben Dank für deinen Ansatz. Leider haben wir den von dir genutzten Zusammenhang nicht bewiesen... Allerdings einen sehr ähnlichen:

Seine a_n Folge in ℂ mit n→∞ und mögen der Grenzwert γ =\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) ∈ [0,∞] existieren ⇒ \( \sqrt[n]{a_{n}} \)   →γ für n→∞

 Könnte ich es daraus auch schlussfolgern?

viele liebe Grüße!

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Ich meine schon. Analoge Argumentation.

Answer 3

c) erweitern mit √(n+1) - √n

--> 1/( √(n+1) + √n)

√n ausklammern und mit ihr kürzen → lim = 0 für n gg.oo