Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Es sei \( f: M \to N \) eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen.
(i) Für alle \( A \subseteq N \) gilt \( f(f^{-1}(A)) = A \).
(ii) Die Abbildung \( f \) ist surjektiv.
Lösung:
1. \( (i) \Rightarrow (ii) \)
Wir nehmen an, dass (i) gilt, also für alle \( A \subseteq N \) gilt \( f(f^{-1}(A)) = A \).
Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, müssen wir zeigen, dass für jedes \( y \in N \) ein \( x \in M \) existiert, so dass \( f(x) = y \).
Betrachte das Element \( y \in N \). Wir definieren die Menge \( A = \{ y \} \subseteq N \). Da \( A \subseteq N \), können wir die Annahme (i) anwenden:
\( f(f^{-1}(A)) = A \)
Das bedeutet konkret:
\( f(f^{-1}(\{ y \})) = \{ y \} \)
Für diese Gleichheit muss \( \{ y \} \subseteq f(M) \) gelten, denn \( f(f^{-1}(\{ y \})) \) ist die Menge aller Bilder der Urbilder von \( y \), die unter \( f \) abgebildet werden. Daraus folgt:
\( y \in f(M) \)
Da \( y \in N \) beliebig war, zeigt dies, dass \( f(M) = N \), also \( f \) surjektiv ist. Damit ist (ii) bewiesen.
2. \( (ii) \Rightarrow (i) \)
Nun nehmen wir an, dass \( f \) surjektiv ist. Wir müssen zeigen, dass \( f(f^{-1}(A)) = A \) für alle \( A \subseteq N \) gilt.
Sei \( A \subseteq N \). Betrachte \( x \in f(f^{-1}(A)) \). Dann gibt es \( m \in f^{-1}(A) \) so dass \( f(m) = x \). Da \( m \in f^{-1}(A) \) bedeutet, dass \( f(m) \in A \), folgt daraus, dass \( x \in A \). Das zeigt:
\( f(f^{-1}(A)) \subseteq A \)
Da \( f \) surjektiv ist, ist \( f^{-1}(A) \subseteq M \). Sei nun \( y \in A \). Da \( f \) surjektiv ist, gibt es \( x \in M \) so dass \( f(x) = y \). Daraus folgt, dass \( x \in f^{-1}(A) \), und damit \( y = f(x) \in f(f^{-1}(A)) \). Das zeigt:
\( A \subseteq f(f^{-1}(A)) \)
Zusammengefasst haben wir:
\( f(f^{-1}(A)) \subseteq A \quad \text{und} \quad A \subseteq f(f^{-1}(A)) \)
Also gilt:
\( f(f^{-1}(A)) = A \)
Damit ist (i) bewiesen.
Fazit:
Wir haben gezeigt, dass:
\(
(i) \text{ Für alle } A \subseteq N \text{ gilt } f(f^{-1}(A)) = A
\)
äquivalent ist zu:
\(
(ii) \text{ Die Abbildung } f \text{ ist surjektiv.}
\)
