Rang der Matrix bestimmen

Question

Matrix:

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 0 & 4 \\ 5 & -1 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 0 & 3\end{array}\right) \)

Von dieser Matrix soll der Rang über ℝ bestimmt werden.

a) durch Zeilenumformungen

b) durch Spaltenumformungen

c) bestimme jeweils noch eine Basis des Spaltenraums und des Vektoraums.

Comments

hallo

a) überführe die matrix per gaußalgorithmus in die treppennormalform. der rang lässt sich dann ablesen, das ist die anzahl der pivotelemente.

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ich bei a) nun das ganze umgeformt und komme auf folgende matrix:

1 -1 1 3

0 2 -2 -9

0 0 0 -11

0 0 0 -1


Hier wäre meine diagonale: 1 2 0 -1

Der Wert der  3. Zeile + 3. Spalte ist jedoch null. Der darf aber ja nicht null sein, oder?

Answer 1

der wert darf null sein(das vermindert lediglich den rang um 1).

weil ja für die pivot-positionen definitionsgemäß gilt: j₁ < j₂ ... < j_n

wobei j_i für einen spaltenindex steht.

also wäre der rang obiger matrix 3, weil es 3 pivot positionen gibt.

ich bekomme jedenfalls auch rang 3 raus:

1    -1     1     3
-1    0    0    4
5    -1     1    -3
-3    0    0    3

1    -1     1     3
0    -1    1    7          I+II
0    4    -4    -18    (-5)*I + III
0    -3    3    12    3*I + IV

1    -1     1     3    
0    -1    1    7
0    0    0    10    4*II + 3
0    0    0    -8      (-3)*2 + IV