Ist φ ∈ End(V ) eine Projektion, so gilt V = Kern(φ) ⊕ φ(V ).
Bew.: Sei φ ∈ End(V ) eine Projektion und v ∈ V und φ(v)=w
==> w ∈φ(V) und φ (v-w) = φ (v) - φ (w)
= φ (v) - φ ( φ (v) )
= φ (v) - φ (v) [ wegen Proj. ]
= 0 , also v-w ∈ Kern(φ ) .
Somit ist v = (v-w) + w eine Summendarstellung für v mit einem
Summanden aus Kern(φ ) und einem aus φ(V) .
Also ist jedenfalls V = Kern(φ ) + φ(V) .
Die Summe ist direkt, weil Kern(φ ) ∩ φ(V) = {0}, denn sei
x ∈ Kern(φ ) ∩ φ(V)
==> a) φ(x)=0 und b) Es gibt ein v∈V mit φ(v) = x
==> φ( φ(v)) = φ(x)
==> φ(v) = φ(x) [ wegen Proj. ]
==> φ(v) = 0 [ wegen a) ]
==> x = 0 [ wegen b) ]
Also x=0 und damit Kern(φ ) ∩ φ(V) = {0}.