Projektion aus zwei Unterräumen

Question

Es sei V ein Vektorraum. Eine lineare Abbildung φ ∈ End(V ) heißt eine Projektion, falls φ ◦ φ = φ gilt. Zeigen Sie:
a) Ist φ ∈ End(V ) eine Projektion, so gilt V = Kern(φ) ⊕ φ(V ).
b) Sind U und W Unterräume von V mit V = U ⊕W, so gibt es genau eine Projektion φ ∈ End(V ) mit U = Kern(φ) und W = φ(V ).

Problem/Ansatz:

Wir haben das Thema heute erst angefangen und ich verstehe leider fast nichts... kann mir jemand weiterhelfen?

Für die Unterräume gilt ja das die Addition und Multiplikation abgeschlossen sein muss und es ein neutrales Element geben muss

Die direkte Summe heißt, dass der Schnitt gleich dem Nullvektor ist.

Answer 1

Ist φ ∈ End(V ) eine Projektion, so gilt V = Kern(φ) ⊕ φ(V ).
Bew.: Sei φ ∈ End(V ) eine Projektion und v ∈ V und φ(v)=w

==>   w ∈φ(V)   und φ (v-w) =  φ (v) - φ (w)

                                             =  φ (v)      -  φ (  φ (v) )

                                             = φ (v)      -   φ (v)     [ wegen Proj. ]

                                             = 0 ,  also  v-w ∈ Kern(φ ) .

Somit ist  v = (v-w) + w  eine Summendarstellung für v mit einem

Summanden aus   Kern(φ ) und einem aus   φ(V) .

Also ist jedenfalls V =  Kern(φ )   +   φ(V) .

Die Summe ist direkt, weil    Kern(φ )   ∩   φ(V)  = {0}, denn sei

x ∈   Kern(φ )   ∩   φ(V)

==>  a)    φ(x)=0  und   b)  Es gibt ein v∈V mit    φ(v) = x

==>                                                       φ(  φ(v))  =  φ(x)

==>                                                          φ(v) =  φ(x)  [ wegen Proj. ]

==>                                                              φ(v) = 0   [ wegen a) ]

 ==>                                                             x = 0   [ wegen b) ]

Also x=0 und damit    Kern(φ )   ∩   φ(V)  = {0}.