Allgemeine lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Es seien K ein Körper und a, b, c, d ∈ K. Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung φ : K2 → K2, (x, y) → (ax + cy, bx + dy) genau dann zu GL(K^2) gehört, wenn ad − bc ̸= 0 gilt.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim lösen der Aufgabe helfen?

Man muss das glaube ich irgendwie in ein lineares Gleichungssystem bringen aber mehr weiß ich leider nicht...

Answer 1

Da es eine lin. Abb. zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimension ist,

gilt  φ bijektiv <=>  Kern ( φ) = {0}.

Und zur Bestimmung von Kern  ( φ)  betrachte

    φ(x,y) = (0,0)

<=>  ax + cy  = 0     und 
         bx + dy  = 0

Betrachte es zunächst für ab≠0, dann gilt

<=>  abx + cby  = 0     und          abx + ady  = 0

2. minus 1. Gleichung gibt

                      ady  -  cby  =  0

                y = 0   oder   ad  -  cb  =  0

Damit die Lösung y=0 zwingend ist, muss

also ad  -  cb  ≠  0    Entsprechend auch für ab=0.

Also hast du  Kern ( φ) = {0} ==>  ad  -  cb  ≠  0

und auch umgekehrt.

Kern( φ) = {0}   ist aber gleichbedeutend mit

Dim Bild (φ) = 2 und das wiederum bedeutet

Matrix von  φ ∈ GL(K^2) .