Lagrange, Produktionsfunktion, Faktoreinsatz, Optimum, etc F(K,L)=K+L^{0.2}

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf

F(K,L)=K+L^0.2

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=14 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=0.4. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 180 ME produziert werden soll.

a. Im Optimum beträgt der Faktoreinsatz von L 27.78 Einheiten.

b. Im Optimum beträgt der Faktoreinsatz von K 64.21 Einheiten.

c. Die minimalen Kosten bei gegebener Produktionsmenge betragen 6379.54 GE.

d. Der Lagrange-Multiplikator λ beträgt im Optimum 14.00

e. Erhöht man den gewünschten Output um 85 ME, so beträgt der optimale Faktoreinsatz für K 263.37 Einheiten.

Problem/Ansatz:

Ich bekomme für λ  14,00 heraus

für L 11,39

und für K 16,37

c) und e) habe ich auch versucht durchzurechnen, bin aber ebenfalls auf andere ergebnisse gekommen als in den antwortmöglichkeiten stehen. meinen berechnungen zufolge wäre dann nur d) richtig, allerdings bekam ich keinen punkt - also falsch. weiß jemand von euch vielleicht weiter? ich habe noch einen versuch und es wäre echt wichtig für mich!

Comments

sehr ähnlich wie https://www.mathelounge.de/677832/faktoreinsatz-bei-gegebener-produktionsfunktion-lagrange

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ist es bei mir auch ein rundunfsfehler? könntest du es mal nachrechnen?

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Wie ihr genau runden müsst, wissen deine Mitstudierenden besser als Aussenstehende. Macht euch da untereinander erst mal schlau und tauscht euch aus, bevor ihr auf Trial and Error eure Antwortmöglichkeiten leichtfertig aufs Spiel setzt.

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normalerweise af 2 nachkommastellen. das habe ich auch gemacht, daher wundert es mich, dass mein ergbnis falsch ist

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Du scheinst eine falsche Lösung gefunden zu haben. Mein Rechner zeigt an:

Answer 1

Zielfunktion: 14 K + 0,4 L minimieren

Nebenbedingung: K + L^1/5 = 180

Lagrange-Gleichung: 14 K + 0,4 L + λ*(K + L^1/5 - 180)

Ableitung nach K gleich Null setzen: λ + 14 = 0

Ableitung nach L gleich Null setzen: 0.4 + λ / (5 L^4/5) = 0

Ableitung nach λ gleich Null setzen: K + L^1/5 - 180 = 0

Lösung dieses Gleichungssystems:

K = 180 - 7^1/4 ≈ 178,3734234

L = 7 * 7^1/4 ≈ 11,3860359

λ = -14

exaktes Minimum: -56/5 (7^1/4 - 225) ≈ 2501,7823425

Comments

dann wären aber alle antwortmöglichkeiten falsch oder?

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Wie kommst Du auf die Idee, dass auch (e) falsch wäre? Ich habe es nicht ausgerechnet.

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(d) ist übrigens auch richtig. Auf das Vorzeichen kommt es in diesem Fall nicht an. Warum, wird den meisten Wirtschaftsstudenten leider nicht gezeigt. Zudem wird es öfters in der Spezifikation der Creditgenerierungssoftware übersehen.

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achso ja, an e) hatte ich nicht gedacht. da lambda dann allerdings -14 und nicht 14 wäre, ist eigentlich die einzige möglichkeit, dass nur e) richtig ist, oder?

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Ich habe nicht geschrieben, lambda sei -14 und nicht 14. Ich habe geschrieben, es komme in diesem Fall nicht auf das Vorzeichen an. Hat mit verwendeter Konvention in der Lagrange-Gleichung zu tun. Die Lösung für K, L und F im Optimum bleibt dieselbe.

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achso, gut dass du es mir gesagt hast! ich hätte echt nicht gewusst, dass es trotz vorzeichen stimmt. danke für die hilfe!