Ist die Funktion f(x):= 3*e^{cos(x)} periodisch?

Question

Aufgabe:

f(x):= 3*e^cos(x)

Bitte um Hilfe

Problem/Ansatz:

Ich denke das sie nicht periodisch ist wegen dem Faktor x Funktion ist?

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Was möchtest Du sagen mit dem Satz "Ich denke das sie nicht periodisch ist wegen dem Faktor x Funktion ist?" ...?

Answer 1

Die Funktion y = 3*exp(cos(x)) ist denke ich periodisch.

Du kannst begründen dass gilt

3*exp(cos(x)) = 3*exp(cos(x + 2pi))

oder nicht?

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ich habe keine Ahnung

Answer 2

Zur Illustration:

Answer 3

Wenn g: ℝ→ℝ periodisch ist mit Periode p und h: ℝ→ℝ eine Funktion ist, dann ist auch f: ℝ→ℝ, x ↦ h(g(x)) periodisch mit Periode p.

Beweis. Sei g: ℝ→ℝ periodisch mit Periode p und h: ℝ→ℝ eine Funktion.

Dann ist laut Definition "periodische Funktion"

        g(x + p) = g(x)  ∀x ∈ℝ.

Also ist auch

        f(x+p) = h(g(x+p)) = h(g(x)) = f(x)  ∀x ∈ℝ.

und somit f laut Definition "periodische Funktion" periodisch mit Periode p.

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Ist für mich zu kompliziert :(

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Dann ersetze g(x) = cos(x), h(x) = 3e^x und p = 2π.

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Wenn g: ℝ→ℝ periodisch ist mit Periode p und h: ℝ→ℝ eine Funktion ist, dann ist auch f: ℝ→ℝ, x ↦ h(g(x)) periodisch mit Periode p.

Das ist natürlich richtig.

Vielleicht sollte man aber noch erwähnen, dass - auch wenn p die kleinste Periode von g(x) ist - p  i.A  nicht - wie im Beispiel - auch die kleinste Periode von h(g(x)) sein muss.

(In der Schule versteht man unter "die Periode" meist "die kleinste Periode")

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Die Funktion ist also periodisch und hat die Periode 2pi liege ich da richtig ?