Komplexe Zahl NST berechnen

Question

Aufgabe:

g(z) = z^2 - (1 - i)

Bestimmen Sie in ℂ alle NST der folgenden Funktion und stellen Sie die Lösungsmenge graphisch dar.

Problem/Ansatz:

!

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.

Um die Aufgabe zu lösen, hätte ich jetzt folgende Idee gehabt:

z^2 - (1 - i) = 0

z^2 = 1 - i

Umwandeln in Polarform? Hier habe ich das Problem.

Re(z) = √1

Im(z) = √-1 ??? Geht doch so nicht, oder?

r = ???

arg(z) = ???

Answer 1

Hallo,

z^2=1-i

Du hast 2 Möglichkeiten:

a) setze z= x+iy

(x+iy)^2= 1-i

x^2 -y^2 + 2i xy -y^2= 1-i

Realteilvergleich:            x^2 -y^2 =1

Imaginärteilvergleich      2xy= -1

b) über die exponentielle Form (Betrag und Winkel bilden)

|z₁|= √2

φ =( 7 *π )/4 ->3.Quadrant ; n=2

allg. gilt:

z_k= |z₁|^(1/n) e^(i(φ +2k π)/n) ( k=0,1)

\( z \approx-1.09868+0.45509i \)

\( z \approx 1.09868-0.45509i \)