Wie beweise ich folgende Betragsaufgaben zu den komplexen Zahlen?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass für \( z, w \) in \( \mathbb{C} \) folgendes gilt: \( \quad \)

a) \( |z w|=|z||w| \)

b) \( |z|^{2}=\bar{z} z \)
c) \( \left|\frac{z}{|z|}\right|=1, z \neq 0 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz. Ich verstehe generell die Beweisführung nicht. Allerdings hatte ich bei anderen Aufgaben immer Ideen, wie ich es machen konnte.

Aber hier weiß ich echt nicht, wie ich es beweisen kann und die Aufgaben b und c verstehe ich auch überhaupt nicht.

Ich hoffe, das mir Jemand mit viel geduld  erklären bzw. zeigen kann was zu tun ist, damit ich etwas reicher an Erfahrung werde.

Answer 1

Hallo,

setze

z            = x+  i y

z(quer)  = x  -iy

Aufgabe b)

| x+iy| ^2=(x -iy) (x+iy)

x^2+y^2= x^2 +y^2

Answer 2

Vermutlich habe ihr definiert:

Für z=a+bi definiert man :  Betrag von z = |z|= √(a^2 + b^2)

Dann musst du nur nachrechnen, etwa bei b)

linke Seite:

|z|^2= (√(a^2 + b^2) ) = a^2 + b^2

rechte Seite:

z¯*z = (a-bi)*(a+bi) = a^2 -abi +abi - b^2 *i^2

= a^2 - b^2 *i^2   = a^2 - b^2 *(-1)  = a^2 + b^2

Also rechte Seite = linke Seite .   q.e.d.

Answer 3

a) Zu zeigen: \(|z\cdot w|=|z|\cdot|w|\)

\(z=x+yi\qquad w=u+vi\)

\(z\cdot w=(x+yi)\cdot (u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i\)

\(|z\cdot w|=\sqrt{(xu-yv)^2+(xv+yu)^2}\)

\(|z\cdot w|=\sqrt{(xu)^2-2xuyv+(yv)^2+(xv)^2+2xvyu+(yu)^2}\)

\(|z\cdot w|=\sqrt{(xu)^2+(yv)^2+(xv)^2+(yu)^2}\)

\(|z|\cdot|w|=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\)

\(|z|\cdot|w|=\sqrt{(x^2+y^2)\cdot(u^2+v^2)}\)

\(|z|\cdot|w|=\sqrt{(xu)^2+(yv)^2+(xv)^2+(yu)^2}\)   ok

b) Zu zeigen: \(|z|^2=z\bar z\)

\(z=x+yi\qquad \bar z=x-yi\)

\(|z|^2=x^2+y^2\)

\(z\bar z==(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\)  ok

c) Zu zeigen: \(\left|\dfrac{z}{|z|}\right|=1\)

\(\left|\dfrac{z}{|z|}\right|\)

\(=\left|\dfrac{x+yi}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\)

\(=\left|\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot i\right|\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2+\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\dfrac{x^2}{{x^2+y^2}}+\dfrac{y^2}{{x^2+y^2}}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{x^2+y ^2}{x^2+y^2}}\)

\(=1\)   ok

Comments

Ich habe eine etwas dumme Frage, aber sie würde mir beim besseren verstehen helfen.

du hast da bei zz¯ beide z gezeigt.

Also einmal das normale z

z=x+yi

und einmal z¯

z¯= z − yi

beim z¯, warum ist da z-yi??

müsste das nicht z¯ = x - yi sein?

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Das ist eine intelligente Frage.   :-)

Ich habe mich nur vertippt.

Schöne Adventszeit!

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Warum wird aus z⋅w=(x+yi)⋅(u+vi)

=(xu−yv)+(xv+yu)i ?

und warum ist da auf einmal ein Minus?

---

Ausmultiplizieren:

(x+yi)(u+vi)

=xu+xvi+yiu+yivi

=xu+xvi+yui-yv

=xu-yv+xvi+yui

=xu-yv+(xv+yu)i

Answer 4

Hallo,

(b) kannst du durch einsetzen leicht zeigen. Setze \(z:=a+ib\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\) und rechne nach.

Unter Verwendung von (b) zeigst du (a)

\(|zw|^2=zw\cdot \overline{zw}=z\overline{z}\cdot w\overline{w}=|z|^2\cdot |w|^2 \Longleftrightarrow |zw|=|z|\cdot |w|\)

(c) würde ich versuchen auf "Gut Glück" einzusetzen, also wieder \(z:=a+ib\) zu schreiben und mal berechnen.

Comments

Vielen Dank. Das hat mir echt weitergeholfen. Habe es verstanden. Aber bei der C weiß ich leider nicht wie ich das machen soll. Da ist ja ein Bruch in den Betragsstrichen und der Nenner wiederum in weiteren Betragstrichen verpackt. Habe sowas noch nie gesehen