Hallol,
y′=−xy+e2x
y′+xy=e2x
dxdy+xy=0
dxdy=−xy
ydy=−xdx
ln|y| = -ln|x| +C
|y| = e^(- ln|x| +C)
|y|=e^(-ln|x| *eC
y=1/x *± eC
yh= C1/x
Setze C1=C(x)
yp= C(x)/x
yp' =C'(x)/x -C(x)/x2
setzte yp und yp' in die DGL ein:
C'(x)= x *e^(2x) -->WICHTIG , das C(x) muß sich kürzen lassen !
C(x)= (e^(2x)/4)* (2x-1) ->partielle Integration
yp= C(x)/x = e^(2x)/4 (2-1/x)
y=yh+yp= C1/x +e^(2x)/2 +e^(2x)/(4x)
Einsetzen der AWB : y(1)=0
0=C1 +e2/2 -e2/4
C1= e2/4 -e2/2
--->
Lösung:
y= e2/(4x) -e2/(2x) +e^(2x)/2 -e^(2x)/(4x)
y=4x2xe2x−e2x−e2
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maximale Definitionsbereich der Lösung: x∈ R , x≠ 0