AWP y'=-y/x+exp(2*x), y(1)=0

Question

Hallo Forum,

die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe $$ y^{\prime}=-\frac{y}{x}+e^{2 x}, \quad y(1)=0 $$ Was ist der maximale Definitionsbereich der Lösung?

 Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallol,

\( y^{\prime}=-\frac{y}{x}+e^{2 x} \)

\( y^{\prime}+\frac{y}{x}=e^{2 x} \)
\( \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=0 \)
\( \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \)
\( \frac{d y}{y}=-\frac{d x}{x} \)

ln|y| = -ln|x| +C

|y| = e^(- ln|x| +C)

|y|=e^(-ln|x| *e^C

y=1/x *± e^C

y_h= C₁/x

Setze C₁=C(x)

yp= C(x)/x

yp' =C'(x)/x -C(x)/x^2

setzte yp und yp' in die DGL ein:

C'(x)= x *e^(2x) -->WICHTIG , das C(x) muß sich kürzen lassen !

C(x)= (e^(2x)/4)* (2x-1) ->partielle Integration

yp= C(x)/x = e^(2x)/4 (2-1/x)

y=yh+yp= C1/x +e^(2x)/2 +e^(2x)/(4x)

Einsetzen der AWB : y(1)=0

0=C₁ +e^2/2 -e^2/4

C1= e^2/4 -e^2/2

--->

Lösung:

y= e^2/(4x) -e^2/(2x) +e^(2x)/2 -e^(2x)/(4x)

\( y=\dfrac{2 x e^{2 x}-e^{2 x}-e^{2}}{4 x} \)

-------->

maximale Definitionsbereich der Lösung: x∈ R , x≠ 0

Answer 2

Gegeben ist das Anfangswertproblem $$y'=-\dfrac{1}{x}\cdot y + e^{2x}, \quad y(1)=0$$ für eine inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Eine Lösung der homogenen Gleichung (ohne Herleitung, aber leicht durch eine Probe zu bestätigen) ist $$y_h(x)=\dfrac{1}{x}.$$ Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich durch Variation der Konstanten: $$y_p(x) = y_h(x) \cdot c(x) \\ \phantom{y_p(x)} = y_h(x) \cdot \int\dfrac{e^{2x}}{y_h(x)}\textrm{ d}x \\ \phantom{y_p(x)} = \dfrac{1}{x} \cdot \int x\cdot e^{2x}\textrm{ d}x \\ \phantom{y_p(x)} = \dfrac{2x-1}{4x} \cdot e^{2x}. $$ Die allgemeine Lösung ergibt sich dann mit $$y(x)=C\cdot y_h(x)+y_p(x) \\ \phantom{y(x)}= \dfrac{C}{x} + \dfrac{2x-1}{4x} \cdot e^{2x}.$$ Die Bestimmung von \(C\) erfolgt durch Einsetzen der Anfangswerte \(x=1\) und \(y=0\).

(Bitte nachrechnen, ich habe das weitgehend mit dem Formeleditor gerechnet.)