Grenzwerte von Funktionen bestimmen

Question

Hallo, ich soll die F.Grenzwerte bestimmen

Text erkannt:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0+}(2 x)^{x} \)
(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{\cot x} \)
(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right) \)
(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right) \)

weiß aber leider überhaupt nicht wie ich an solche Aufgaben rangehen soll...

Answer 1

(2x)^x = e^(x*ln(2x))

und den Grenzwert von x*ln(2x) für x gegen 0+ machst du mit De Hospital

ln(2x)  /  (1/x)   →    (1/x)  /  (-1/x^2 )  =  -x

und das geht gegen 0, also ist der gesuchte e^0 = 1.

Versuche bei b) auch De Hospital und teile das Ergebnis auf in

 - ( sin(x) / x )    *   sin(x)

Der erste Faktor geht gegen -1 und der zweite gegen 0 .

Also GW = 0.

Siehe auch

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x-%3E0+ln%28x%29+*+tan%28x%29+

Da kannst du Ergebnisse prüfen.

Bei c) bringe es auf einen Bruch und wende De Hospital 2 Mal an.

Answer 2

Hallo,

Aufgabe c)

Man hat ∞ - ∞ und bildet den Hauptnenner.

dann 2 Mal L'Hospital anwenden

\( \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)-x}{x \cdot \sin (x)}\right) \)

\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos (x)-1}{\sin (x)+x \cos (x)}\right) \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\sin (x)}{2 \cos (x)-x \cdot \sin (x)}\right)=\frac{0}{2}=0 \)



Lösung: 0

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