Wie kann man wissen, wie viele Schichten man mit 140 Würfeln erhalten kann

Question

Aufgabe:

a) Aus gleichartigen Würfeln werden Pyramiden in mehreren Schichten wie in nebenstehender Abbildung gebaut. Um eine aus n Schichten bestehende Pyramide zu erhalten, benötigt man insgesamt n(n+1)(2n +1)/6 Würfel.

• Überprüfe dies für eine aus vier Schichten bestehende Pyramide!

• Berechne, wie viele Schichten man mit 140 Würfeln erhält!

Comments

wie in nebenstehender Abbildung   ???

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Man könnte sich auch ein wenig mit Pyramidenzahlen beschäftigen...

Answer 1

n·(n + 1)·(2·n + 1)/6 = 140
n·(n + 1)·(2·n + 1) = 840
2·n^3 + 3·n^2 + n = 840
2·n^3 + 3·n^2 + n - 840 = 0 

Eine ganzzahlige Lösung findet man bei n = 7

Comments

Wieso rechnest Du überhaupt, wenn du Die 7 sowieso nur rätst oder ausprobierst?

Ausprobieren und einsetzen kann man auch in die erste (urspüngliche) Formel, da ist jede weitere Umformung überflüssig.

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In der Schulmathematik wird die Gleichung auf eine kubische Gleichung gebracht und dann eine Nullstelle geraten. Dann eventuell noch eine Polynomdivision gemacht.

Richtig ist das man sich das auch schenken kann.

an = n·(n + 1)·(2·n + 1)/6

ist sicher eine streng monoton steigende Folge. D.h. mal kann ein beliebiges n einsetzen. Kommt weniger als 140 heraus muss man n erhöhen. Kommt mehr als 140 heraus muss man n vermindern.

Mit einer Wertetabelle die inzwischen fast jeder etwas bessere Taschenrechner beherrscht, kann man die Lösung n = 7 direkt ablesen.

Man darf dem Lehrer trotzdem immer gerne zeigen, dass man imstande ist Terme auszumultiplizieren.

Außerdem gibt es sogar Taschenrechner die eine kubische Gleichung lösen können. Dazu muss man sie aber beim einigen aber erstmal ausmultipliziert haben.

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In der Schule lernst Du kubische Gleichungen (haha) (und dazu natürlich komplexe Zahlen (haha)), Polynomdivision und die Monotonie von Folgen bei einer Frage, wo es einfach nur darum geht, irgendwelche Würfelchen zu stapeln. Wirklich ein guter Witz.

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wo es einfach nur darum geht, irgendwelche Würfelchen zu stapeln

In Mathematikaufgaben geht es meist nicht nur darum irgendwelche Würfelchen zu stapeln.

Meist denken sich die Lehrer etwas bei den Aufgaben und möchten einen bestimmten Sachverhalt verdeutlichen oder Dinge üben. Das geht natürlich verloren, wenn die Aufgaben aus dem Kontext gerissen werden.

D.h. wir wissen nicht ob das eine Aufgabe aus der 7. Klasse ist, aus der 11. Klasse oder aus dem Studium. Auch wissen wir hier nicht worauf der Lehrer/Dozent hinaus möchte. Daher kann man nur mutmaßen.

Answer 2

n(n+1)(2n +1)/6 =140

2n^3+3n^2+n= 840

2n^3+3n^2+n-840=0

Polynomdivision liefert die zu ratende Nullstelle 7.

n= 7

Comments

Hallo Andreas,

was soll hier welche Polynomdivision bringen?

Gruß Wolfgang

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Ich meinte eigentlich Faktorisierung, die man ja oft bei der Polynomdivision

verwendet. Hier ist eine weitere Zerlegung unnötig, weil es keine natürlichen

Nullstellen mehr gibt.

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Wieso rechnest Du überhaupt, wenn du Die 7 sowieso nur rätst oder ausprobierst?

Und warum willst Du faktorisieren, wenn Du die 7 sowieso nur geraten hast?

Falls es Dir nicht aufgefallen ist: Du hattest bereits eine Faktorisierung bevor Du angefangen hast zu rechnen.

Answer 3

n(n+1)(2n +1)/6 = 140

n(n+1)(2n +1) = 140*6 (= 840) = 2*2*2*3*5*7

Du suchst zwei aufeinander folgende Zahlen n und n+1, das geht hier mit 2 und 3, 3 und 4, 4 und 5, 5 und 6, 6 und 7 oder 7 und 8. Nur das letzte erfüllt auch die Bedingung 2n+1.

(Da 2n+1 etwa doppelt wie n, prüfst Du sinnvoll zuerst 7 und 8, die kleineren Paare 2 und 3, etc können überhaupt nicht funktionieren.)

Answer 4

offensichtlich wird in jeder Schicht k mit k² Würfel gebaut

die formel ist \(\sum_{k=1}^{n}k^{2}\)