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ich habe folgende Frage.

Wie berechne ich den Wert eines Parameters bei gegebener Steigung der Wendetangente.

Folgendes:

f(x)= -1/a(x-2)^2 * (x+4)

Steigung der Wendetangente beträgt 2.

Zudem, komme ich nicht auf die Nullstelle dieser Kurvenschar. Kann mir da jemand helfen?

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Hallo

bilde f' und f'' Wendepunkt xw bestimmen aus f''(xw)=0 , dann f'(xw)=2 setzen. daraus a.

Nullstelle bei x+4=0 also x=4 (wenn (x-2)^2 im Zähler steht auch noch bei x=2, wenn es im Nenner steht nicht)

Gruß lul

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Aloha :)

Die Funktion

$$f(x)=-\frac{1}{a}(x-2)^2(x+4)$$

Nullstellen:

hat eine doppelte Nullstelle bei \(x=2\) und eine einfache Nullstelle bei \(x=-4\). Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die \(x\)-Achse, bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die \(x\)-Achse.

Wendepunkt:

Um die Wendetangente bestimmen zu können, benötigen wir zunächst den Wendepunkt.

$$f'(x)=-\frac{2}{a}(x-2)(x+4)-\frac{1}{a}(x-2)^2=-\frac{2}{a}(x^2+2x-8)-\frac{1}{a}(x^2-4x+4)$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{1}{a}\left(3x^2-12\right)=-\frac{3}{a}\left(x^2-4\right)$$$$f''(x)=-\frac{6x}{a}$$$$f'''(x)=-\frac{6}{a}$$

Die zweite Ableitung wird Null für \(x=0\). Die dritte Ableitung ist ungleich \(0\). Also liegt bei \(x=0\) der Wendepunkt vor.

Wendetangente:

Die Gleichung der Tangente an die Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x=0\) lautet:

$$t(x)=f(0)+f'(x)\cdot(x-0)=-\frac{16}{a}+\frac{12}{a}x$$Die Steigung der Wendetangente lesen wir zu \(\frac{12}{a}\) ab. Sie soll nach Aufgabenstellung \(2\) sein. Daher ist \(a=6\) der gesuchte Parameter.

~plot~ -1/6*(x-2)^2*(x+4) ; -16/6+12/6*x ; [[-5|5|-6|6]] ~plot~

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