Aloha :)
Die Funktion
$$f(x)=-\frac{1}{a}(x-2)^2(x+4)$$
Nullstellen:
hat eine doppelte Nullstelle bei \(x=2\) und eine einfache Nullstelle bei \(x=-4\). Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die \(x\)-Achse, bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die \(x\)-Achse.
Wendepunkt:
Um die Wendetangente bestimmen zu können, benötigen wir zunächst den Wendepunkt.
$$f'(x)=-\frac{2}{a}(x-2)(x+4)-\frac{1}{a}(x-2)^2=-\frac{2}{a}(x^2+2x-8)-\frac{1}{a}(x^2-4x+4)$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{1}{a}\left(3x^2-12\right)=-\frac{3}{a}\left(x^2-4\right)$$$$f''(x)=-\frac{6x}{a}$$$$f'''(x)=-\frac{6}{a}$$
Die zweite Ableitung wird Null für \(x=0\). Die dritte Ableitung ist ungleich \(0\). Also liegt bei \(x=0\) der Wendepunkt vor.
Wendetangente:
Die Gleichung der Tangente an die Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x=0\) lautet:
$$t(x)=f(0)+f'(x)\cdot(x-0)=-\frac{16}{a}+\frac{12}{a}x$$Die Steigung der Wendetangente lesen wir zu \(\frac{12}{a}\) ab. Sie soll nach Aufgabenstellung \(2\) sein. Daher ist \(a=6\) der gesuchte Parameter.
~plot~ -1/6*(x-2)^2*(x+4) ; -16/6+12/6*x ; [[-5|5|-6|6]] ~plot~
