Wert des Parameters bestimmen

Question

Aufgabe:

Für welchen Wert des Parameters a>0 hat die vom Graphen der Funktion f(x)=-a(x² -1) und der x-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt 2?

Answer 1

Für welchen Wert des Parameters a>0 hat die vom Graphen der Funktion f(x)=-a(x² -1) und der x-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt 2

-a(x² -1)=0

x₁=1

x₂=-1

Text erkannt:

\( 2=2 \cdot \int \limits_{0}^{1}-a\left(x^{2}-1\right) \cdot d x=2 \cdot \int \limits_{0}^{1}\left(-a x^{2}+a\right) \cdot d x=2 \cdot\left[-\frac{a}{3} \cdot x^{3}+a x\right]_{0}^{1}=2 \cdot\left[-\frac{a}{3} \cdot 1^{3}+a \cdot 1\right] \)
\( 1=-\frac{a}{3}+a=\frac{2}{3} a \)
\( a=\frac{3}{2} \)

Answer 2

fa(x)=-a*x²+a → Nullstellen x1,2=+/-Wurzel(a/a)=+/- → x1=-1 und x2=1

integriert

F(x)=-a*∫x²*dx+a*∫x⁰*dx

F(x)=-a/3*x³+a*x+C

A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → xo=1 und xu=-1

A=2=(-a/3*1³+a*1) - (-a/3*(-1)³+a*(-1))=(-1/3*a+3/3*a)-(1/3*a-3/3*a)=2/3*a-1*(-2/3*a)=4/3*a

a=2*3/4=3/2

y=f(x)=-3/2*(x²-1)

~plot~-3/2*(x^2-1);[[-5|5|-5|10]];x=-1;x=1~plot~