Der kegelförmige Kelch eines Sektglasses ist 12cm hoch und hat einen oberen Innendurchmesser von 7cm.
Es gilt \(\dfrac{r}{h}=\dfrac{7}{12} \Rightarrow r=h\cdot\dfrac{7}{12} \Rightarrow r^2=h^2\cdot\dfrac{49}{144} \)
a) In welchem Abstand vom oberen Rand muss der Eichstrich für 0,1l angebracht werden?
Das Volumen eines Kegels mit V=0,1 Liter:
\(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi h^3\cdot\dfrac{49}{144}=0,1\,\ell = 100\,\text{cm}^3\)
\(\dfrac{1}{3}\pi h^3\cdot\dfrac{49}{144}=100\,\text{cm}^3\)
\(h=\sqrt[3]{\dfrac{100\cdot 3\cdot 144}{49\pi}}\approx 6,547\,\text{cm}\)
\(x\approx 12\,\text{cm}-6,547\,\text{cm}=5,453\,\text{cm}\)
Der Eichstrich muss ca 5,45 cm unterhalb des Randes angebracht werden.
Damit ist die senkrechte Höhendifferenz gemeint. Wenn der "schräge Abstand" gemeint ist, muss noch weiter gerechnet werden.
b) Wie viel Prozent weniger Flüssigkeit ist im Glas, wenn es nur bis 1cm unter dem Eichstrich gefüllt wird?
\(V_0=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 12^3\cdot\dfrac{49}{144}\,\text{cm}^3\)
\(V_1=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 11^3\cdot\dfrac{49}{144}\,\text{cm}^3\)
\(\dfrac{V_1}{V_0}=\dfrac{11^3}{12^3}\approx0,77=77\%\)
\(100\%-77\%=23\%\)
Es sind 23% weniger im Glas.
