Bestimmen eine Parabel 4.Ordnung

Question

Aufgabe:

Eine Parabel 4. Ordnung schneidet die x-Achse in P(4/0) und hat im Ursprung einen Wendepunkt mit Waagerechter Tangente. Sie schließt mit der x-Achse im 1.Feld eine Fläche von 6,4 Flächeneinheiten ein. Stelle die Gleichung der Parabel auf.

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass ich fünf Bedingungen brauche.

1. f(0)=0

2. f'(0)=0

3. f''(0)=0

4. f(4)=0

5. Ich muss  das Integral nach a umformen

Ich weiss, dass f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e  , und dass man die 2 Ableitungen machen muss.

Jetzt ist meine Frage: Wie setze ich das Integral nach a um und wie füge ich jetzt alle diese Bedingungen zu einer Funktion zusammen?

Answer 1

f ( x ) = ax^4+bx^3+cx^2+d^x+e
f ´( x ) = 4ax^3 + 3bx^2+2cx+d
f ´´ ( x ) = 12ax^2 + 6bx+2c

Eine Parabel 4. Ordnung schneidet die x-Achse in P(4/0) und hat im Ursprung einen Wendepunkt mit Waagerechter Tangente. Sie schließt mit der x-Achse im 1.Feld eine Fläche von 6,4 Flächeneinheiten ein. Stelle die Gleichung der Parabel auf.

f ( 4 ) = 0
f ( 0 ) = 0 => e = 0

f ´´( 0 ) = 0 => c = 0
f ´( 0 ) = 0 => d = 0

f ( x ) = ax^4+bx^3
f ( 4 ) = 0

256a + 64b = 0

Stammfunktion
Schnittpunkte mit der x-Achse
x = 0 und x = 4
S ( x ) = ax^5/5 + bx^4/4

[ S ] zwischen 0 und 4 = 6.4
a*4^5/5 + b*4^4/4 = 64. ( x = 0 entfällt )
a * 204.8 + 64 b = 6.4

256a + 64b = 0
204.8a + 64b = 6.4 | abziehen
------------------------
51.2a  = -6.4
a = - 0.125
256a + 64b = 0
32 + 64b = 0
b = 1/2

f ( x ) = -1/8 * x^4 + 1/2 * b

Wurde mit einem Matheprogramm überprüft.

Answer 2

x=0 ist eine dreifache Nullstelle. Damit gibt es nur die Nullstellen 0 und 4, eine vernünftige Ansatzgleichung ist y=a*x^3*(x-4)

(Mit deinem allgemeinen Ansatz kommst du auch zum Ziel. Der Reihe nach erhältst du aus den ersten drei Bedingungen

e=0

d=0

c=0.

Auf f(x)=ax⁴+bx³ kannst du dann die letzten beiden Bedingungen anwenden.

Comments

Wie genau bist du auf y=a*x^3*(x-4)?

Ich hatte das schon eben gesehen, konnte es aber leider nicht nachvollziehen.

Danke für die schnelle Antwort :)

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Wenn du nicht selbst darauf kommst, kannst du es ignorieren. Mach mit deinem Ansatz weiter.

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Wenn du nicht selbst darauf kommst, kannst du es ignorieren

So etwas ist äußerst hilfreich.

Answer 3

Ich hatte das schon eben gesehen, konnte es aber leider nicht nachvollziehen.

Ein Linearfaktor (Nullstelle), der nur einfach vorkommt, d.h. (x-a) verschwindet in der folgenden Ableitung, Kommt er doppelt vor (x-a)^2 verschwindet er in der übernächsten Ableitung, usw.

Du hast die 0 in der 2. Ableitung immer noch, also muss der Linearfaktor (x-0) = x mindestens als x^3 vorkommen.

(Und wieso gibst Du abakus eine +1 dafür, dass er nicht bereit ist, Deine Frage zu beantworten?)