Berechnung einseitiger Grenzwerte

Question

Aufgabe:

I) Berechnen Sie die einseitigen Grenzwerte der Funktion f mit Dem Defintionsbereich R \ {0}

II) Lässt sich f stetig nach x=0 fortsetzen? Wenn ja geben sie die Fortsetzung mit an

\( f(x):=1+x \sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}} \)

\( \lim \limits_{x \searrow 0} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \nearrow 0} f(x) \)

Ich bekomms einfach nicht hin und wäre sehr dankbar über Hilfe.

Comments

Hast Du die Funktion geplottet?

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Beim Grenzwert von oben gegen Null kann man beim zweiten Summanden das 1 weglassen, das x kürzen, und dann steht da 1 + \( \sqrt{4} \)

Beim Grenzwert von unten ebenso, und dann steht 1 - \( \sqrt{4} \) wobei das minus vom x vor der Wurzel kommt.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=1+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=1+x\sqrt{\frac{1}{x^2}\left(x^2+4\right)}=1+x\sqrt{\frac{1}{x^2}}\sqrt{x^2+4}$$$$\phantom{f(x)}=1+x\frac{1}{|x|}\sqrt{x^2+4}=1+\text{sign}(x)\sqrt{x^2+4}\quad;\quad x\ne0$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(1+(-1)\sqrt{x^2+4}\right)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(1+(+1)\sqrt{x^2+4}\right)=3$$

Bei \(x=0\) liegt eine Sprungstelle vor, daher ist die Funktion bei \(x=0\) nicht stetig und kann auch nicht stetig ergänzt werden.

Comments

Vielen Dank für die Mühe! Eine Frage hab ich noch, ist das Ziel bei so einer Aufgabe also einen Bruch mit  x / |x| zu erhalten um die sign Funktion zu verwenden?

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Ziel einer solchen Aufgabe ist es, den Funktionsterm so umzuformen, dass man den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert erkennen kann.

Die Signum-Funktion hat sich hier sehr gut angeboten, weil die kritische Stelle bei \(x=0\) liegt, und weil man damit die nötige Fallunterscheidung zwischen \(x<0\) und \(x>0\) direkt in einer Formel schreiben kann.

Answer 2

Nimm mal erst den Fall x>0 und klammere in der Wurzel 1/x^2 aus und ziehe es davor,

dann hast  du     f(x) = 1 + sqrt( x^2 + 4 )

und für x gegen 0 geht das gegen 1 + 2 = 3 .

Bei x<0 entsprechend erhältst du als GW  -1 .

Also nicht stetig ergänzbar.

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Vielen Dank!