Berechnung der Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

lim n->∞ ((n+1)(n^2-1)) / ((2n+1)(3n^2+1)(n^2)),

lim n->∞ (1+2+...+n)/(n² ) ,

lim n->∞ n²/2ⁿ  .

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war, die Terme zu vereinfachen, und so die Grenzwerte aufzuzeigen, Jedoch ist meine Frage ob es noch eine andere Methode geben würde und/oder die Umformung/Vereinfachung überhaupt korrekt ist.

beim ersten wäre das ja 1/6

durch simples n rausstreichen (oder aus multiplizieren, und dann n kürzen)

beim Mittleren wäre es ja 1/2 auch hier durch vereinfachen und kürzen.

und beim letzten kann man es ja zu n/2ⁿ * n/2nⁿ umschreiben und da n kleiner ist als 2ⁿ wird die Lösung gegen 0 gehen.

Aber reicht das, den Grenzwert durch Vereinfachung zu zeigen?

Answer 1

1) kürzen

2) gaußsche Summenformel

3) per Induktion n≤2^n für alle nat. Zahlen und Sandwichsatz anwenden.

Comments

welches wäre der Sandwich Satz?

ja bei der Zweiten, habe ich den Gaussen Satz gebraucht, und gekürzt.

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Aus n≤2ⁿ folgt n²/2ⁿ≤n. Da macht der Sandwichsatz keinen Sinn. Man müsste schon n³<2ⁿ für n>9 zeigen.

Answer 2

lim n->∞ (1+2+...+n)/(n² )

(1+2+...+n)/(n² ) =)(n²+n)/(2n²)  Grenzwert 1/2

Answer 3

Aloha :)

$$\frac{(n+1)(n^2-1)}{(2n+1)(3n^2+1)n^2}=\frac{\frac{(n+1)(n^2-1)}{n^3}}{\frac{(2n+1)(3n^2+1)}{n^3}}\cdot\frac{1}{n^2}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3+\frac{1}{n^2}\right)}\cdot\frac{1}{n^2}\to\frac{1}{6}\cdot0=0$$$$\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac{\frac{n^2+n}{2}}{n^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\to\frac{1}{2}$$$$\frac{n^2}{2^n}=\frac{n^2}{(1+1)^n}=\frac{n^2}{\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^k\cdot1^{n-k}}=\frac{n^2}{\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}}$$$$\phantom{\frac{n^2}{2^n}}=\frac{n^2}{1+n+\frac{n^2-n}{2}+O(n^3)}=\frac{1}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)+O(n)}\to0$$