Determinante einer großen Matrix bestimmen

Question

Bestimmen Sie (mit Begründung) die Determinanten der beiden reellwertigen Matrizen \( A \) und \( B, \) wobei
\( A=\left(\begin{array}{llllllll}{0} & {0} & {0} & {3} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {3} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {3} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {4} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)

Hab jetzt mal nur die eine Matrix hingeschrieben (gibt eigentlich noch eine B).

Ich weiß nicht, wie man das angehen soll. Ich denke mal, dass man da was vereinfachen kann, da es so viele Nullstellen gibt, aber ich weiß nicht wie ich das mache und wie ich das begründe.

Answer 1

Hallo,

das ist eine Blockdiagonalmatrix.

Deren Determinante ist gerade das Produkt der Determinanten der beiden Blockmatrizen oben links und unten rechts. Deren Determinanten kannst du im Kopf ausrechnen, dass sind Diagonalmatrizen.

Comments

Ah super, Danke :)

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Die diagonalen hier sind ja die die man nachher abzieht. Also kommt da dann ein negatives Ergebnis raus. Ist das richtig?

Nachtrag: Ah sorry war ne dumme Frage, hatte mich vertan. Hat sich geklärt.

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Nö, darüber hatte ich auch nachgedacht ;).

Da es die Nebendiagonalen sind, bekommt man ein Minuszeichen bei den Blockdeterminanten. Da es aber zwei Blöcke sind, heben sich die beiden Minus auf.

Answer 2

Du kannst es vereinfachen, indem Du die Determinante berechnest von

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)