Zeigen Sie die folgenden Gleichungen unter Verwendung der Definition von Konvergenz.

Question

Könnte mir einer von euch  bitte mal Helfen, wie man die folgende Folge auf Konvergenz mit Hilfe des epsilon Kriterium nachweist?

a_n= n²/(5n³+2)

Answer 1

Hallo,

es gilt n^2/(5n^3+2)≤ n^2/n^3 = 1/n < ε  (Verwende das archimedische Axiom)

Comments

Ok, Danke. wenn ich jetzt einen schwierigeren Bruch habe, könnte ich das dann so machen z.B?

7n⁴+5n²+4n+5/(12n³+5n+3) ≤ n⁴/n³ ≤ n < ε

Und kannst du mir vielleicht noch erklären, warum mann das in dem Beispiel da oben einfach ,,kürzen" darf? bzw. was besagt das archimedische Axiom?

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habe mich in meinem Beispiel verschrieben.

7n²+9n+5/(12n⁴+5n+3) ≤ n²/n⁴ ≤ 1/n² < ε

so sollte es eigentlich heißen.

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Die Abschätzung gilt für n≥2, also OK. Aber das ist nicht sofort ersichtlich, dass das zwingend gilt.

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Gibt es auch Fälle, wo ich nicht einfach ,,kürzen" darf?

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Wie meinst du das? Man muss schon "offensichtlich" sehen, warum die Abschätzung gilt. In meiner Antwort habe ich, ohne den Zähler zu verändern, den Nenner kleiner gemacht. Bei dir veränderst du sowohl Nenner als auch Zähler, da kann das nicht immer "offensichtlich" sein.