Beweis durch Ringschluss im Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und seien u,v,w Element V drei gegebene Vektoren, wobei u+v+w=0. Zeigen sie, dass dann

L{(u,v})=L{(v,w)}=L{(w,u}) gilt

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ? Ich weiß nicht mal, wie ich damit anfangen soll.

Nachtrag:  L ist die lineare Hülle.

Comments

L ist "lineare Hülle" oder was?

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Ja, L ist die lineare Hülle

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Gut. Habe ich ergänzt.

Warum schreibst du "Gleichungen" im andern Kommentar? Ich sehe keine Gleichheitszeichen.

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Mathef hat doch auch eine Gleichung x ? Hab mich nur an seinem orientiert.

Answer 1

L{(u,v}) soll ja wohl die lineare Hülle (das Erzeugnis) von u und v sein,

( nicht etwa so   L({u,v})   ???

 also alle x∈V, die sich mit irgendwelchen a,b aus K in der Form

x = a*u+b*v   bilden lassen.

1. L{(u,v})⊆L({v,w}).

Sei also x ∈L({u,v})

==> Es gibt a,b aus K mit x =  a*u+b*v   #

wegen u+v+w=0 ist  u =  -v - w und das

eingesetzt bei # gibt   x =  a*(-v-w) +b*v = (b-a)*v + (-a)*w

also eine Linearkombination von v und w und somit

ein Element von L({v,w}).

Ähnlich kannst du auch  L{(v,w})⊆L({u,v}) beweisen und hast

damit den 1. Teil der Gleichung.

Comments

Also so :

2. L{(v,w)}⊆ L{(u,v)}

Also x∈ L{(v,w)}

-> a,b aus K mit x=a*u+b*v

Wegen u+v+w=0

V=-u-w und das einsetzten

x=a*u+b*(-u-w)

3.  L{(v,w)}⊆ L{(w,u)}

Also x∈ L{(w,u)} 

-> a,b aus K mit x=a*v+b*w

Wegen u+v+w=0 

w=-u-v  und das einsetzten 

x=a*v+b*(-v-u)

3.  L{(w,u)}⊆ L{(v,w)}

Also x∈ L{(v,w)} 

-> a,b aus K mit x=a*v+b*w

Wegen u+v+w=0 

V=-u-w und das einsetzten 

x=a*(-w-u)+b*w

Und diese 4 Gleichung dann zusammen schreiben und v,w,u raus bekommen ? 

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Wenn du das in Form eines Ringschlusses machen willst, reicht auch

L({u,v})⊆L({v,w}) ⊆ L({u,w})  ⊆ L({u,v}).

Du hast immer noch die Klammern etwas ungewöhnlich.

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Naja aber ich muss es doch beweisen? Oder nicht?

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Na klar, so wie das oben war, du brauchst dann aber nur

drei Teilmengenbeziehungen zu beweisen und nicht 4.

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Also muss ich dein 1. aufschreiben und mein 2. Nur mit L({v,w})⊂L({u,w}) und 3. L({u,w}) ⊆ L({u,,v}) ?

Dann hab ich 3. Gleichungen oder?

1. -ab+bv-aw

2. -bw-bu+au

3. -av+bv-aw

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Die Gleichungen allein reichen wohl nicht,

du musst dann schon nach eine Argumentation in der Art wie

ich es versuchte dazu schreiben.

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Wie jetzt ?

Wohin denn ?

Oder meinst du, ich soll zu dem Verlauf Kommentare schreiben ?

Sind die Gleichungen den richtig? Oder nicht ? Muss ich da noch was berechnen..