Quadratische Gleichungen (pq-Formel): 3x² - 10x + 3 = 0

Question

Wir wiederholen gerade das Thema quadratische Gleichungen und haben dazu auch ein Aufgabenblatt

Aufgaben:

a) 3x^{2} - 10x + 3 = 0

b) 5x^{2} - 8x + 2 = 0

f) 5x^{2} - 36x + 55 = 0

Ansatz:

Bei Aufgabe a) hatten wir erstmal aus dem 3x² gemacht: x² - 10/3x + 1 = 0. Ich weiß nicht mehr genau wie man nochmal von 3x² auf 3/10 kommt.

Da ist dann auch mein Problem mit dem rechen, ich weiß irgendwie nicht wie ich den Bruch einsetzen soll in die PQ-Formel.

Answer 1

 

a)

3x² - 10x + 3 = 0 | : 3

x² -10/3 * x + 1 = 0

p = -10/3 | q = 1

Also ist -p/2 = +5/3

x_1,2 = 5/3 ± √(25/9 - 9/9) = 5/3 ± 4/3

x₁ = 9/3 = 3

x₂ = 1/3

 

b)

5x² - 8x + 2 = 0 | : 5

x² - 8/5 * x + 2/5 = 0

p = -8/5 | q = 2/5

Also ist -p/2 = +4/5

x_1,2 = 4/5 ± √(16/25 - 20/25) = 4/5 ± 2/5

x₁ = 1,2

x₂ = 0,4

 

f)

5x² - 36x + 55 = 0 | : 5

x² - 36/5 * x + 11 = 0

p = -36/5 | q = 11

Also ist -p/2 = + 18/5

x_1,2 = 18/5 ± √(324/25 - 275/25) = 18/5 ± 7/5

x₁ = 5

x₂ = 11/5 = 2,2

 

Ich denke, das Vorgehen ist nun klar geworden, nicht wahr?

Du musst beim Dividieren natürlich darauf achten, dass alle Teile des Terms durch die gleiche Zahl geteilt werden; und beim Bilden von -p/2 auf das Vorzeichen achten!

 

Besten Gruß

Comments

Ich verstehe nicht wie Du das einsetzt :(

Ich komme am Ende auf 1 ganzes 2/3 auf beiden Seiten

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Woher nimmst Du bei a) die 9/9?

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q = 1 = 9/9. in der wurzel wird alles auf einen hauptnenner gebracht.

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@ Anonym:

gorgar hat es ja schon knackig auf den Punkt gebracht.

Gehen wir es aber trotzdem nochmals Schritt für Schritt durch:

3x² - 10x + 3 = 0 | jedes einzelne Glied wird durch 3 geteilt, damit wir vorn x² stehen haben

3x² / 3 - 10x / 3 + 3 /3 = 0 / 3

x² - 10/3 * x + 1 = 0

p = -10/3, also

-p/2 = +10/3 : 2 = 5/3

q = 1

Die Lösungsformel lautet

x_1,2 = -p/2 ± √[(p/2)² - q]

x_1,2 = 5/3 ± √[(-5/3)² - q]

x_1,2 = 5/3 ± √(25/9 - q]

x_1,2 = 5/3 ± √(25/9 - 1)

Damit wir jetzt schön die Wurzel ziehen können, erweitern wir die 1 mit 9, machen 1 also zu 9/9

x_1,2 = 5/3 ± √(25/9 - 9/9)

Die Brüche unter dem Wurzelzeichen fassen wir jetzt zusammen

x_1,2 = 5/3 ± √(16/9)

Die Wurzel aus 16/9 ist 4/3, deshalb

x_1,2 = 5/3 ± 4/3

 

Jetzt etwas klarer?

Answer 2

3x² -10 x +3 = 0    | dann wird alles durch 3 geteilt , denn 3 :3=1, 10: 3=10/3,  3x²:3= x² und 10x :3 = 10/3  x

x² -10/3 x+1=0     | nun 10/3 durch 2 geteilt werden also (10/3) /(2/1) , bedeutet mit dem Kehrwert multiplizieren

                            |   ist dann 10/6   oder 5/3

x_1,2= 10/6 ±√(( 100/36) -1)

x_1,2= 10/6 ±√((100-36)/36)           | √64/36  = 8/6  oder 4/3

x_1,2= 5/3 ± 4/3

L= { 9/3  , 1/3}   oder L = { 3 , 1/3}

Answer 3

Wenn du dir die abc-Formel (Mitternachtsformel) merken kannst, ist das Bruchrechnen in den Wurzeln nicht mehr so nötig.

x_1,2 = 1/(2a) (-b ± √(b^2 - 4ac))

3x² - 10x + 3 = 0

a=3, b= -10 und c = 3 einsetzen.

 

x_1,2 = 1/6 (10 ± √(100 - 36))

x_1,2 = 1/6 (10 ± √64)

x_1,2 = 1/6 (10 ± 8)

x₁ = 1/6* (18) = 3

x₂ = 1/6*2 = 1/3

Beachte, dass du diese Formel nicht benutzen darfst, wenn a=0 ist.