Wie bestimme ich den Grenzwert für folgende Folgen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3 Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) für Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \) für
a) \( a_{n}:=\dfrac{n+5}{n^{3}} \)
b) \( a_{n} :=\dfrac{n^{3}+i n^{3}}{5+n^{3}} \)
c) \( a_{n}:=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}+4 \dfrac{i n^{2}}{4+i 3 n^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Hier habe ich leider keinen Ansatz. Ich weiß zwar das man mittels Wertetabelle die Tendenz bestimmen kann, wogegen der Grenzwert geht. Allerdings soll ich ja hier den Grenzwert genau bestimmen und bei solchen Funktionen weiß ich nicht, wie ich dies tun kann.

Vielleicht kann mir jemand dies verständlich erklären.

Answer 1

Aloha :)

$$a)\quad a_n:=\frac{n+5}{n^{3}}=\frac{1+\frac{5}{n}}{n^2}\to\frac{1+0}{\infty}\to0$$$$b)\quad a_n :=\frac{n^{3}+i n^{3}}{5+n^{3}}=\frac{1+i}{\frac{5}{n^3}+1}\to\frac{1+i}{0+1}=1+i$$$$c)\quad a_n:=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}+\frac{4i n^{2}}{4+i 3 n^{2}}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}+\frac{4i}{\frac{4}{n^2}+i 3}\to\frac{\pm1}{\infty}+\frac{4i}{0+3i}=\frac{4}{3}$$

Answer 2

Wurden alle Exponenten korrekt erkannt?

Wenn ja: Grenzwert bei a) ist 0, bei b) 1+i bei c) 4 * i/(3i) = 4/3 .