Maximaler Flächeninhalt Dreieck

Question

Aufgabe:

Zwischen dem Funktionsgraphen der Funktion f(x)=-24x^2+8 und der x-Achse soll ein gleichschenkliges Dreieck eingezeichnet werden. Die Spitze des Dreiecks liegt im Ursprung, die beiden anderen Eckpunkte liegen auf dem Graphen von f.

Problem/Ansatz:

A=a*b

b=f(x)

A(a)=-24*a^3+8*a

A´(a)=-72*a^2+8

a1=1/3

f(1/3)=0

b=0

Ist das soweit richtig und wie berechne ich den Flächeninhalt?

Comments

f(1/3) ist falsch, davor ist alles richtig.

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a = 1/3
in A ( Fläche ) einsetzen nicht in f.

A(a)=-24*a3+8*a
A = 16/9

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f(1/3)=16/3 wie in meiner Antwort schon steht.

Und A=1/3*f(1/3)=16/9    :-)

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Warum den Umweg
a = 1/3  => f(1/3) => A = f(1/3) * a ausrechnen
und nicht direkt
a = 1/3  => A(a)=-24*a^3+8*a

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@georg

Du hast ja Recht. Ich wollte nur den Zusammenhang zwischen f und A zeigen, da dere Fragesteller f(1/3) berechnen wollte.

Answer 1

Ist das soweit richtig und wie berechne ich den Flächeninhalt?

Nein, das ist nicht richtig.

Du bist (deinen bisherigen Fragen nach zu urteilen) Schüler der Sekundarstufe 2, aber dir fehlt das Wissen aus Klasse 7, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet?

Zur Erinnerung: A(Dreieck)=0,5*g*h.

Als Grundseite kannst du die Strecke nehmen, die zwischen der beiden Schnittpunkten der Geraden y=h mit den vorgegebenen Funktionsgraphen liegt.

Comments

Da das Dreieck flächengleich zu einem Rechteck im 1. Quadranten ist, kann man auch mit A=x·y rechnen.

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Das stimmt allerdings.

Answer 2

Den Flächeninhalt berechnest du mit \(A=\dfrac{1}{2}g\cdot h\). Dabei ist \(g=2x\) und \(h=y=f(x)\).

Eingesetzt ergibt sich \(A=x·f(x)\).

\(f(x)=-24x^2+8\),

also \(A(x)=-24x^3+8x\)

\(A'(x)=-72x^2+8=0\)  um das Extremum zu bestimmen, von dem du allerdings nichts in der Aufgabe schreibst.

\(x^2=\dfrac{1}{9}\)

also \(x=\pm\dfrac{1}{3}\)

\(g=\dfrac{2}{3}; h=f(\frac{1}{3})=\dfrac{16}{3}; A= \dfrac{16}{9}=1.\overline 7\)

Und hier noch die Graphen von f(x) und A(x):

https://www.desmos.com/calculator/d5isijhsai