Ableitung / Regeln verstehen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (x-1) √x

Berechnen Sie die erste Ableitung von f.

Problem/Ansatz:

Ich probiere das mit der Produktregel, weiß aber nicht wie man das dann zusammenfasst. Ich hätte gerne einen Lösungsweg um die anderen Aufgaben auch dann lösen zu können.

Answer 1

Wenn du es leicht zusammenfassen kannst vor dem Ableiten kannst du das machen.

f(x) = (x - 1)·√x = (x - 1)·x^{1/2} = x^{3/2} - x^{1/2}

f'(x) = 3/2·x^{1/2} - 1/2·x^{-1/2} = (3·x - 1)/(2·√x)

Answer 2

f(x) = (x-1) √x

Die Produktregel wendest du so an:

$$ u(x)=(x-1); v(x)=\sqrt{x}$$

$$ u'(x)=1; v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

\( f'(x)=u'v+uv'=1\cdot\sqrt{x}+(x-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

\( f'(x)=\sqrt{x}+x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

Mit \(\dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\) kannst du die ersten beiden Terme zusammenfassen:

\(  f'(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

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Zur Kontrolle, kannst du auch erst ausmultiplizieren:

$$ f(x)=(x-1)\cdot\sqrt{x}=(x-1)\cdot x^{\frac{1}{2}}= x^{\frac{3}{2}}- x^{\frac{1}{2}} $$
$$ f'(x)=1,5x^{\frac{1}{2}}-0,5 x^{-\frac{1}{2}} =1,5\cdot\sqrt{x}-0,5\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$$