Ableitung h' von sinus & cosinus Funktion berechnen

Question

Berechnen Sie die Ableitung h'. Geben Sie die nötigen Rechenschritte an und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. (Hinweis: Für alle
t ∈ R ist sin²(t) + cos²(t) = 1. Können Sie dies geometrisch begründen? — Sie
brauchen die Begründung nicht aufzuschreiben.)

a) h : R → R mit h(x) = x² sin(x) + x cos(x)

b) h : (−π, π) → R mit h(t) = \( \frac{sin(t)}{1 + cos(t)} \)

Comments

Duplikat von Tanne07 andernorts. https://www.mathelounge.de/681210/zeige-anhand-der-definition-ist-bei-differenzierbar-mit-f

Titel: analysis Aufgabe differenzierbarkeit von funktionen

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo. Wie löse ich diese Aufgabe?

\( 100 \% \)
Aufgabe 1. Berechnen Sie die Ableitung \( h^{\prime} . \) Geben Sie die nötigen Rechenschrit-
te an und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. (Hinweis: Für alle
\( t \in \mathbb{R} \) ist \( \sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)=1 . \) Können Sie dies geometrisch begründen? \( -\mathrm{Sie} \)
brauchen die Begründung nicht aufzuschreiben.)
a) \( h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( h(x)=x^{2} \sin (x)+x \cos (x) \)
b) \( h:(-\pi, \pi) \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( h(t)=\frac{\sin (t)}{1+\cos (t)} \)
Aufgabe 2. Sei \( g: D \longrightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar bei \( a, \) wobei \( a \in D \) innerer Punkt, sei \( g(x) \neq 0 \) für alle \( x \in D . \) Wir können dann die Funktion \( f: D \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{1}{g(x)} \) bilden. Zeigen Sie anhamanhand der Definition: \( f \) ist bei a differenzierbar mit
$$ f^{\prime}(a)=-\frac{g^{\prime}(a)}{(g(a))^{2}} $$
Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass \( g \) bei \( a \) stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt!
$$ Q $$

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Auch wenn Tanne07 immer wieder bereits vorhandene Fragen stellt, bitte aufpassen mit den Links zum Umleiten der Fragen. Falls gerade jemand antwortet, landet sonst die Antwort unter einer (leicht) andern Frage.

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@Tanne07: Wahrscheinlich solltest du mit https://www.mathelounge.de/681210/zeige-anhand-der-definition-ist-bei-differenzierbar-mit-f verlinkt werden.

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Es ist sehr enttäuschend wenn du Fragen wiederholt stellst, die schon beantwortet waren und wo du sogar die Antwort selber als hilfreich ausgezeichnet hast.

Das könnte den Verdacht aufkommen lassen, dass du dich nur sehr ungenügend mit den Antworten beschäftigst.

Weiterhin wäre es hilfreich bei Fragestellungen auch immer zu erfahren wobei du Schwierigkeiten hast.

Also anstatt eine Frage nur neu zu stellen könntest du immer bei beantworteten Fragen nochmal gezielt nachfragen, wenn du etwas nicht verstanden hast.

Answer 1

a)

h(x) = x^2·SIN(x) + x·COS(x)

h'(x) = 2·x·SIN(x) + x^2·COS(x) + 1·COS(x) + x·(-SIN(x))

h'(x) = 2·x·SIN(x) - x·SIN(x) + x^2·COS(x) + 1·COS(x) 

h'(x) = x·SIN(x) + (x^2 + 1)·COS(x)

b)

h(x) = SIN(x)/(1 + COS(x))

h'(x) = (COS(x)·(1 + COS(x)) - SIN(x)·(-SIN(x))) / (1 + COS(x))^2

h'(x) = (COS(x) + COS(x)^2 + SIN(x)^2) / (1 + COS(x))^2

h'(x) = (COS(x) + 1) / (1 + COS(x))^2

h'(x) = 1 / (1 + COS(x))

Answer 2

Hallo

a) Begründung: zeichne  ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1 wo sieht man sin(α) wo cos(α)

 in 1) musst du doch nur die Produktregel für die 2 Summanden benutzen, woran scheiterst du?

Beispiel (x^3*sin(x))'=3x^2*sin(x)+x^3*cos(x) ( mit Absicht nicht deine Funktion)

in 2) Quotientenregel auch da seh ich keine Schwierigkeit.

vielleicht sagst du was über deine Vorkenntnisse oder woran du scheiterst?

lul

Comments

Danke für die Hinweise bei a) hab ich : 

h'(x) = 2x cos(x) * x cos(x) + x² * sin(x) - sin(x)
h'(x) = 2x^4 * cos(x)²

Ist das richtig so ?

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vielleicht sagst du was über deine Vorkenntnisse oder woran du scheiterst?

Das würde mich auch interessieren. Leider erfährt man außer einem Aufgabentext nur sehr wenig von den Fragestellern.

Es gibt inzwischen eine Reihe Apps die lernwilligen Schülern tatkräftig unter die Arme greifen.

Zwei meiner Lieblingsapps sind Photomath und Wolframalpha. Eine meiner Schülerinnen hat sich auch dank dieser Apps inzwischen in Mathe von einer 5 auf eine 2 hochgearbeitet.

Dabei ist das Vorgehen immer das gleiche. Zunächst selber probieren und dann eine App um eine Kontroll-Lösung bitten. Stimmt die eigene Lösung dann die nächste Aufgabe machen. Natürlich kann es sein das hier doch mehrfach Fehler gemacht werden die sich eben genau aufheben, dass ist allerdings recht selten.

Hat man einen Fehler dann mal die Lösung der App genauer unter die Lupe nehmen und schauen ob man selber seinen Fehler findet. Falls man selber nicht dahinter kommt was falsch ist, dann zu einem Nachhilfelehrer des Vertrauens gehen und die Schwierigkeiten durchsprechen.

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h'(x) = 2x cos(x) * x cos(x) + x² * sin(x) - sin(x)
h'(x) = 2x4 * cos(x)²

Ist das richtig so ?

Leider nicht schon die erste Zeile ist sehr fehlerbehaftet.

Du darfst zunächst beide Summanden getrennt ableiten. Da beide Summanden gleichzeitig Produkte sind ist jeweils die Produktregel anzuwenden.

Answer 3

Hallo,

Aufgabe b)

allgemein gilt:

y'=( u' v -uv')/v^2 Quotientenregel

u= sin(t) ;    v=1 +cos(t)

u'= cos(t) ;  v'= -sin(t)

eingesetzt:

y'= cos(t) *(1 +cos(t)) + sin^2(t))/(1 +cos(t))^2

y'= cos(t) +cos^2(t)+ sin^2(t))/(1 +cos(t))^2

allgemein: sin²(t) + cos²(t) = 1.

y'= (cos(t) +1)/(1 +cos(t))^2 --->cos(t) +1 kürzen

y'= 1/(1+cos(t))